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设f(x)=sinx+∫0xetf(x一t)dt,其中f(x)连续,求满足条件的f(x).
设f(x)=sinx+∫0xetf(x一t)dt,其中f(x)连续,求满足条件的f(x).
admin
2017-10-23
24
问题
设f(x)=sinx+∫
0
x
e
t
f(x一t)dt,其中f(x)连续,求满足条件的f(x).
选项
答案
设u=x一t,则∫
0
x
e
t
f(x一t)dt=e
x
∫
0
x
e
—u
f(u)du,故原方程整理后为 e
—x
f(x)=e
—x
sinx+∫
0
x
e
—u
f(u)du. 在方程中令x=0得f(0)=0,再将方程两边对x求导,得 e
—x
f’(x)一e
—x
f(x)=e
—x
cosx—e
—x
sinx+e
—x
f(x). 化简得一阶线性微分方程 f’(x)一2f(x)=cosx—sinx. (*) 由一阶线性微分方程的通解公式知方程(*)的通解为 f(x)=Ce
2x
+e
—2x
∫e
—2x
(cosx—sinx)dx. 分部积分两次可得 ∫e
—2x
(cosx一sinx)dx=[*]e
—2x
(3 sinx一cosx)+C—,其中C是任意常数. 故原微分方程的通解为 [*]
解析
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0
考研数学三
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