2. 考研
  3. 设f(x)=sinx+∫0xetf(x一t)dt，其中f(x)连续，求满足条件的f(x)．

设f(x)=sinx+∫0xetf(x一t)dt，其中f(x)连续，求满足条件的f(x)．

admin2017-10-23  73
问题 设f(x)=sinx+∫0xetf(x一t)dt，其中f(x)连续，求满足条件的f(x)．
选项
答案设u=x一t，则∫0xetf(x一t)dt=ex∫0xe—uf(u)du，故原方程整理后为 e—xf(x)=e—xsinx+∫0xe—uf(u)du． 在方程中令x=0得f(0)=0，再将方程两边对x求导，得 e—xf’(x)一e—xf(x)=e—xcosx—e—xsinx+e—xf(x)． 化简得一阶线性微分方程 f’(x)一2f(x)=cosx—sinx． (*) 由一阶线性微分方程的通解公式知方程(*)的通解为 f(x)=Ce2x+e—2x∫e—2x(cosx—sinx)dx． 分部积分两次可得 ∫e—2x(cosx一sinx)dx=[*]e—2x(3 sinx一cosx)+C—，其中C是任意常数． 故原微分方程的通解为 [*]
解析
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考研数学三

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