设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是r（B）=n。

admin2017-12-29 37

问题设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，B^T为B的转置矩阵，试证：B^TAB为正定矩阵的充分必要条件是r（B）=n。

选项

答案必要性：设B^TAB为正定矩阵，所以r（B^TAB）=n，又因为r（B^TAB）≤r（B）≤n，所以r（B）=n。充分性：因（B^TAB）^T=B^TA^T（B^T）^T=B^TAB，故B^TAB为实对称矩阵。若r（B）=n，则线性方程组Bx=0只有零解，从而对任意的n维实列向量x≠0，有Bx≠0。又A为正定矩阵，所以对于Bx≠0，有（Bx）^TA（Bx）＞0。于是当x≠0，有x^T（B^TAB）x=（Bx）^TA（Bx）＞0，故B^TAB为正定矩阵。

解析

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