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设函数f(x)连续,且满足∫0xf(x-t)dt=∫0xf(x-t)f(t)dt+e﹣x﹣1,求f(x).
设函数f(x)连续,且满足∫0xf(x-t)dt=∫0xf(x-t)f(t)dt+e﹣x﹣1,求f(x).
admin
2022-11-28
7
问题
设函数f(x)连续,且满足∫
0
x
f(x-t)dt=∫
0
x
f(x-t)f(t)dt+e
﹣x
﹣1,求f(x).
选项
答案
令u=x-t,则∫
0
x
f(x-t)dt=﹣∫
x
0
f(u)du=∫
0
x
f(u)du.因此 ∫
0
x
f(u)du=x∫
0
x
f(t)dt-∫
0
x
tf(t)dt+e
﹣x
-1. 两边对x求导,得 f(x)=∫
0
x
f(t)dt+xf(x)-xf(x)-e
﹣x
=∫
0
x
f(t)dt-e
﹣x
· 上式两边再对x求导,得 f′(x)-f(x)=e
﹣x
. 上述方程为一阶非齐次微分方程,由通解公式,可得通解为 [*]
解析
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0
考研数学三
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