设函数f(x)连续，且满足∫0xf(x-t)dt=∫0xf(x-t)f(t)dt+e﹣x﹣1，求f(x)．

admin2022-11-28 7

问题设函数f(x)连续，且满足∫₀^xf(x-t)dt=∫₀^xf(x-t)f(t)dt+e^﹣x﹣1，求f(x)．

选项

答案令u=x-t，则∫₀^xf(x-t)dt=﹣∫_x⁰f(u)du=∫₀^xf(u)du．因此　∫₀^xf(u)du=x∫₀^xf(t)dt-∫₀^xtf(t)dt+e^﹣x-1．　两边对x求导，得　f(x)=∫₀^xf(t)dt+xf(x)-xf(x)-e^﹣x=∫₀^xf(t)dt-e^﹣x· 　上式两边再对x求导，得 f′(x)-f(x)=e^﹣x．　上述方程为一阶非齐次微分方程，由通解公式，可得通解为　[*]

解析

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