2. 考研
  3. 设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足A2=A(A称为幂等阵)．求：二次型XTAX的标准形；｜E+A+A2+…+An｜的值．

设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足A2=A(A称为幂等阵)．求：二次型XTAX的标准形；｜E+A+A2+…+An｜的值．

admin2022-11-08  31
问题 设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足A2=A(A称为幂等阵)．求：二次型XTAX的标准形；｜E+A+A2+…+An｜的值．
选项
答案因为A2=A，所以｜A｜｜E-A｜=0，即A的特征值为0或者1，因为A为实对称矩阵，所以A可对角化，由r(A)=r得A的特征值为λ=1(r重)，λ=0(n-r重)，则二次型XTAX的标准形为y12+y22+…+yr2．令B=E+A+A2+…+An，则B的特征值为λ=n+1(r重)，λ=1(n-r重)，故｜E+A+A2+…+An｜=｜B｜=(n+1)r．
解析
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考研数学三

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