设A为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵B=(A*)2-4E的特征值为0，5，32．求A-1的特征值并判断A-1是否可对角化．

admin2022-11-08 56

问题设A为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵B=(A^*)²-4E的特征值为0，5，32．求A^-1的特征值并判断A^-1是否可对角化．

选项

答案设A的三个特征值为λ₁，λ₂，λ₃，因为B=(A^*)²-4E的三个特征值为0，5，32，所以(A^*)²的三个特征值为4，9，36，于是A^*的三个特征值为2，3，6．又因为｜A^*｜=36=｜A｜^3-1，所以｜A｜=6．由｜A｜/λ₁=2，｜A｜/λ₂=3，｜A｜/λ₃=6，得λ₁=3，λ₂=2，λ₃=1，由于一对逆矩阵的特征值互为倒数，所以A^-1的特征值为1，1/2，1/3．因为A^-1的特征值都是单值，所以A^-1可以相似对角化．

解析

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考研数学三

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