2. 考研
  3. 设A为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵B=(A*)2-4E的特征值为0，5，32．求A-1的特征值并判断A-1是否可对角化．

设A为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵B=(A*)2-4E的特征值为0，5，32．求A-1的特征值并判断A-1是否可对角化．

admin2022-11-08  65
问题 设A为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵B=(A*)2-4E的特征值为0，5，32．求A-1的特征值并判断A-1是否可对角化．
选项
答案设A的三个特征值为λ1，λ2，λ3，因为B=(A*)2-4E的三个特征值为0，5，32，所以(A*)2的三个特征值为4，9，36，于是A*的三个特征值为2，3，6．又因为｜A*｜=36=｜A｜3-1，所以｜A｜=6．由｜A｜/λ1=2，｜A｜/λ2=3，｜A｜/λ3=6，得λ1=3，λ2=2，λ3=1，由于一对逆矩阵的特征值互为倒数，所以A-1的特征值为1，1/2，1/3．因为A-1的特征值都是单值，所以A-1可以相似对角化．
解析
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考研数学三

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