2. 公务员
  3. 已知函数f(x)=ax2+6x(a≠0)满足条件：f(一x+5)=f(x一3)，且方程f(x)=x有等根． 是否存在实数m、n(m＜n)，使f(x)的定义域和值域分别是[m，n]和[3m，3n]?如果存在，求出m、n的值；若不存在，说明理由．

已知函数f(x)=ax2+6x(a≠0)满足条件：f(一x+5)=f(x一3)，且方程f(x)=x有等根． 是否存在实数m、n(m＜n)，使f(x)的定义域和值域分别是[m，n]和[3m，3n]?如果存在，求出m、n的值；若不存在，说明理由．

admin2019-01-22  75
问题 已知函数f(x)=ax2+6x(a≠0)满足条件：f(一x+5)=f(x一3)，且方程f(x)=x有等根．
是否存在实数m、n(m＜n)，使f(x)的定义域和值域分别是[m，n]和[3m，3n]?如果存在，求出m、n的值；若不存在，说明理由．
选项
答案由上可知，[*]， 即函数f(x)开口向下，对称轴为x=1． ①当m＜n≤1时，函数f(x)在[m，n]上单调递增． 则可令[*]，解得m=0或m=一4，n=0或n=一4． 又因为n＞m，故n=0，m=一4满足题意． ②当n＞m≥1时，函数f(x)在[m，n]上单调递减， 则可令[*]，化简得到8(m一n)=(m+n)(m—n)， 又因为n＞m，故可得到m+n=8， 将其代入f(m)=3n可得到m2一8m+48=0，m无实数解． ③当m＜1＜n时，函数的最大值为[*]，即3n=[*]，得n=[*]，这与n＞1不符． 综上所述，存在实数m、n，使得f(x)的定义域和值域分别是[m，n]和[3m，3n]，此时，n=0，m=一4．
解析
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