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已知函数f(x)=ax2+6x(a≠0)满足条件:f(一x+5)=f(x一3),且方程f(x)=x有等根. 是否存在实数m、n(m<n),使f(x)的定义域和值域分别是[m,n]和[3m,3n]?如果存在,求出m、n的值;若不存在,说明理由.
已知函数f(x)=ax2+6x(a≠0)满足条件:f(一x+5)=f(x一3),且方程f(x)=x有等根. 是否存在实数m、n(m<n),使f(x)的定义域和值域分别是[m,n]和[3m,3n]?如果存在,求出m、n的值;若不存在,说明理由.
admin
2019-01-22
57
问题
已知函数f(x)=ax
2
+6x(a≠0)满足条件:f(一x+5)=f(x一3),且方程f(x)=x有等根.
是否存在实数m、n(m<n),使f(x)的定义域和值域分别是[m,n]和[3m,3n]?如果存在,求出m、n的值;若不存在,说明理由.
选项
答案
由上可知,[*], 即函数f(x)开口向下,对称轴为x=1. ①当m<n≤1时,函数f(x)在[m,n]上单调递增. 则可令[*],解得m=0或m=一4,n=0或n=一4. 又因为n>m,故n=0,m=一4满足题意. ②当n>m≥1时,函数f(x)在[m,n]上单调递减, 则可令[*],化简得到8(m一n)=(m+n)(m—n), 又因为n>m,故可得到m+n=8, 将其代入f(m)=3n可得到m
2
一8m+48=0,m无实数解. ③当m<1<n时,函数的最大值为[*],即3n=[*],得n=[*],这与n>1不符. 综上所述,存在实数m、n,使得f(x)的定义域和值域分别是[m,n]和[3m,3n],此时,n=0,m=一4.
解析
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