设A为4阶矩阵,r(A)=3,其代数余子式A11≠0,A*为A的伴随矩阵.试求线性方程组A*x=0的一个基础解系.

admin2022-06-08  25

问题 设A为4阶矩阵,r(A)=3,其代数余子式A11≠0,A*为A的伴随矩阵.试求线性方程组A*x=0的一个基础解系.

选项

答案由于r(A)=3,因此r(A*)=1,从而知线性方程组A*x=0的基础解系由4-1=3个线性无关解构成. 设矩阵A的列向量组为β1,β2,β3,β4,即A=(β1,β2,β3,β4).由A*A=|A|E=O,即A*1,β2,β3,β4)=0,得A*βj=0(j=1,2,3,4),即A的列向量均为方程组A*x=0的解. 又由A11≠0,知由β2,β3,β4构成的矩阵中有一个3阶子式不为零,从而知r(β2,β3,β4)=3,即β2,β3,β4线性无关.因此β2,β3,β4构成方程组A*x=0的一个基础解系.

解析
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