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设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且｜f’(x)｜＜1，又f(0)=f(1)，证明：对于x1，x2∈[0，1]，有 ｜f(x1)一f(x2)｜＜．
设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且｜f’(x)｜＜1，又f(0)=f(1)，证明：对于x1，x2∈[0，1]，有 ｜f(x1)一f(x2)｜＜．
admin
2017-10-23
63
问题
设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且｜f’(x)｜＜1，又f(0)=f(1)，证明：对于
x
1
，x
2
∈[0，1]，有
｜f(x
1
)一f(x
2
)｜＜
．
选项
答案
联系f(x
1
)—f(x
2
)与f’(x)的是拉格朗日中值定理．不妨设0≤x
1
≤x
2
≤1．分两种情形： 1)若x
2
一x
1
＜[*]，直接用拉格朗日中值定理得 ｜f(x
1
)一f(x
2
)｜=｜f’(ξ)(x
2
一x
1
)｜=｜f’(ξ)｜｜x
2
一x
1
｜＜[*]． 2)若x
2
一x
1
≥[*]，当0＜x
1
＜x
2
＜1时，利用条件f(0)=f(1)分别在[0，x
1
]与[x
2
，1]上用拉格朗日中值定理知存在ξ∈(0，x
1
)，η∈(x
2
，1)使得 ｜f(x
1
)一f(x
2
)｜=｜[f(x
1
)一f(0)]一[f(x
2
)一f(1)]｜ ≤｜f(x
1
)一f(0)｜+｜f(1)一f(x
2
)｜ =｜f’(ξ)x
1
｜+｜f’(η)(1一x
2
)｜ ＜x
1
+(1一x
2
)=1一(x
2
一x
1
)≤[*]， ①当x
1
=0且x
2
≥[*]时，有 ｜f(x
1
)一f(x
2
)｜=｜f(0)一f(x
2
)｜=｜f(1)一f(x
2
)｜=｜f’(η)(1一x
2
)｜＜[*]． ②当x
1
≤[*]且x
2
=1时，同样有 ｜x(x
1
)一f(x
2
)｜=｜f(x
1
)一f(1)｜=｜f(x
1
)一f(0)｜=｜f’(ξ)(x
1
一0)｜＜[*]． 因此对于任何x
1
，x
2
∈[0，1]总有 ｜f(x
1
)一f(x
2
)｜＜[*]．
解析
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考研数学三
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