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  3. 已知连续函数f(x)满足，则f(x)=_________．

已知连续函数f(x)满足，则f(x)=_________．

admin2017-12-11  38
问题 已知连续函数f(x)满足，则f(x)=_________．
选项
答案[*]
解析 可以转化为如下形式：

代入原方程，得

由f(x)连续可知，上式中各个积分上限函数均可导，将方程两边对x求导，得
f(x)=1+cosx++xf(x)-xf(x)．
即    f(x)=1+cosx+
取x=0，得f(0)=2．上式两边对x求导，得
f’(x)=-sinx+f(x)．
即

    这是一个一阶线性微分方程的初值问题，可以利用一阶线性微分方程通解公式求解，也可以用下面的简便方法求解．
    将方程f’(x)-f(x)=-sinz两边乘以e-x，得
    [f(x)e-x]’=-e-xsinx，
等式两边积分，得
f(x)e-x=-∫e-xsinxdx;
因为∫e-xsinxdx=-∫sinxde-x=-sinxe-x+∫e-xcosxdx
    =-sinxe-x-∫cosxde-x
    =-sinxe-x-cosxe-x-∫e-xsinxdx．
所以∫e-xsinxdx=e-x(sinx+cosx)-C，
故    f(x)e-x=e-x(sinx+cosx)+C，
从而    f(x)=(sinx+cosx)+Cex，
由f(0)-2，得C=(sinx+cosx)．
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