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已知连续函数f(x)满足,则f(x)=_________.
已知连续函数f(x)满足,则f(x)=_________.
admin
2017-12-11
76
问题
已知连续函数f(x)满足
,则f(x)=_________.
选项
答案
[*]
解析
可以转化为如下形式:
代入原方程,得
由f(x)连续可知,上式中各个积分上限函数均可导,将方程两边对x求导,得
f(x)=1+cosx+
+xf(x)-xf(x).
即 f(x)=1+cosx+
取x=0,得f(0)=2.上式两边对x求导,得
f’(x)=-sinx+f(x).
即
这是一个一阶线性微分方程的初值问题,可以利用一阶线性微分方程通解公式求解,也可以用下面的简便方法求解.
将方程f’(x)-f(x)=-sinz两边乘以e
-x
,得
[f(x)e
-x
]’=-e
-x
sinx,
等式两边积分,得
f(x)e
-x
=-∫e
-x
sinxdx;
因为∫e
-x
sinxdx=-∫sinxde
-x
=-sinxe
-x
+∫e
-x
cosxdx
=-sinxe
-x
-∫cosxde
-x
=-sinxe
-x
-cosxe
-x
-∫e
-x
sinxdx.
所以∫e
-x
sinxdx=
e
-x
(sinx+cosx)-C,
故 f(x)e
-x
=
e
-x
(sinx+cosx)+C,
从而 f(x)=
(sinx+cosx)+Ce
x
,
由f(0)-2,得C=
(sinx+cosx).
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考研数学一
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