已知连续函数f(x)满足，则f(x)=_________．

admin2017-12-11 33

问题已知连续函数f(x)满足

，则f(x)=_________．

选项

答案[*]

解析

可以转化为如下形式：

代入原方程，得

由f(x)连续可知，上式中各个积分上限函数均可导，将方程两边对x求导，得
f(x)=1+cosx+

+xf(x)-xf(x)．
即 f(x)=1+cosx+

取x=0，得f(0)=2．上式两边对x求导，得
f’(x)=-sinx+f(x)．
即

这是一个一阶线性微分方程的初值问题，可以利用一阶线性微分方程通解公式求解，也可以用下面的简便方法求解．
将方程f’(x)-f(x)=-sinz两边乘以e^-x，得
[f(x)e^-x]’=-e^-xsinx，
等式两边积分，得
f(x)e^-x=-∫e^-xsinxdx;
因为∫e^-xsinxdx=-∫sinxde^-x=-sinxe^-x+∫e^-xcosxdx
=-sinxe^-x-∫cosxde^-x
=-sinxe^-x-cosxe^-x-∫e^-xsinxdx．
所以∫e^-xsinxdx=

e^-x(sinx+cosx)-C，
故 f(x)e^-x=

e^-x(sinx+cosx)+C，
从而 f(x)=

(sinx+cosx)+Ce^x，
由f(0)-2，得C=

(sinx+cosx)．

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