设二次型若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y21+y22．

admin2021-11-09 49

问题设二次型

若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y²₁+y²₂．

选项

答案记A=2αα^T+ββ^T，因为α，β正交且均为单位向量，所以 Aα=(2αα^T+ββ^T)α=2α， Aβ=(2αα^T+ββ^T)β=β，于是λ₁=2，λ₂=1是矩阵A的特征值，又 r(A)=r(2αα^T+ββ^T)≤r(2αα^T)+r(ββ^T)≤2．所以λ₃=0是A的另一特征值，故f在正交变换下的标准形为2y²₁+y²₂．

解析

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