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已知η是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解,ξ1,ξ2,…,ξn-r,是对应齐次方程组Ax=0的基础解系,证明: η,η+ξ1,η+ξ2,…,η+ξn-r是Ax=b的n-r+1个线性无关解;
已知η是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解,ξ1,ξ2,…,ξn-r,是对应齐次方程组Ax=0的基础解系,证明: η,η+ξ1,η+ξ2,…,η+ξn-r是Ax=b的n-r+1个线性无关解;
admin
2016-04-29
66
问题
已知η是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解,ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
,是对应齐次方程组Ax=0的基础解系,证明:
η,η+ξ
1
,η+ξ
2
,…,η+ξ
n-r
是Ax=b的n-r+1个线性无关解;
选项
答案
Aη=b,A(η+ξ
i
)=Aη=b,i=1,2,…,n-r,故η,η+ξ
1
,η+ξ
2
…,η+ξ
n-r
,均是Ax=b的解向量. 设有数k
0
,k
1
,k
2
,…,k
n-r
,使得k
0
η+k
1
(η+ξ
1
)+ k
2
(η+ξ
2
)+…+ k
n-r
(η+ξ
n-r
)=0, 整理得(k
0
+ k
1
+…+ k
n-r
)η+ k
1
ξ
1
+…+ k
n-r
ξ
n-r
=0,(*) (*)式左乘A,得(k
0
+ k
1
+…+ k
n-r
)b=0,其中b≠0,得k
0
+ k
1
+…+ k
n-r
=0(* *), 代入(*),因ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
是对应齐次方程组的基础解系,线性无关,得 k
i
=0,i=1,2,…n-r. 代入(* *),得k
0
=0,从而有η,η+ξ
1
,η+ξ
2
,…,η+ξ
n-r
是Ax=b的n-r+1个线性无关解
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/C1T4777K
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考研数学三
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