2. 考研
  3. 设αi=(αi1，αi2，…，αin)T(i=l，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr线性无关，已知β=(b1，b2，…，bn)T是线性方程组 的非零解向量．试判断向量组α1，α2，…，αr，β的线性相关性．

设αi=(αi1，αi2，…，αin)T(i=l，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr线性无关，已知β=(b1，b2，…，bn)T是线性方程组 的非零解向量．试判断向量组α1，α2，…，αr，β的线性相关性．

admin2020-03-05  19
问题 设αi=(αi1，αi2，…，αin)T(i=l，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr线性无关，已知β=(b1，b2，…，bn)T是线性方程组

的非零解向量．试判断向量组α1，α2，…，αr，β的线性相关性．
选项
答案设有一组数k1，k2，…，kr，l，使得 k1α1+k2α2+…+krαr+lβ=0 (*) 成立，则因β=(b1，b2，…，bn)T是齐次线性方程组 [*] 的解，故有βTαi=0 (i=1，2，…，r)． 对(*)式，左乘βT有k1βTα1+k2βTα2+…+krβTαr+lβTβ=0． 得lβTβ=0，由于β≠0，知βTβ=‖β‖2≠0，故l=0． 代入(*)式知k1α1+k2α2+…+krαr=0，由于向量组α1，α2，…，αr线性无关，所以得 k1=k2=…=kr=0． 因此，向量组α1，α2，…，αr，β线性无关．
解析 因为β=(b1，b2，…，bn)T是齐次方程组的解，故有

即β与αi(i=1，2，…，r)正交，利用几何直观可知α1，α2，…，αr，β线性无关．
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考研数学一

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