设A为m×n矩阵,r(A)=n,则下列结论不正确的是( )

admin2016-04-29  24

问题 设A为m×n矩阵,r(A)=n,则下列结论不正确的是(    )

选项 A、若AB=0,则B=0
B、对任意矩阵B,总有r(AB)=r(B)
C、存在B,使BA=E
D、对任意矩阵B,总有r(BA)=r(B)

答案D

解析 对于选项(A),因为AB=0r(A)+r(B)≤n,又r(A)=n,所以r(B)=0,所
以B=0.排除.
    对于(B),因为A为m×n矩阵,r(A)=n,所以A为列满秩矩阵,于是存在m阶可逆矩
阵P,n阶矩阵Q,使PAQ=

故排除(C)
故选(D).
事实上,若取A=(1,-2,1)T,B=(1,1,1),则r(A)=1,r(BA)=0≠r(B)=1.
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