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设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内存在二阶导数,且 2f(0)=∫02f(x)dx=f(2)+f(3). (1)证明存在η∈(0,2),使f(η)=f(0); (2)证明存在ξ∈(0,3),使f”(ξ)=0.
设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内存在二阶导数,且 2f(0)=∫02f(x)dx=f(2)+f(3). (1)证明存在η∈(0,2),使f(η)=f(0); (2)证明存在ξ∈(0,3),使f”(ξ)=0.
admin
2016-06-27
98
问题
设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内存在二阶导数,且
2f(0)=∫
0
2
f(x)dx=f(2)+f(3).
(1)证明存在η∈(0,2),使f(η)=f(0);
(2)证明存在ξ∈(0,3),使f”(ξ)=0.
选项
答案
(1)已知2f(0)=∫
0
2
f(x)dx,又根据f(x)在[0,2]上是连续的,且由积分中值定理得,至少有一点η∈(0,2),使得∫
0
2
f(x)dx=f(η).(2一0). 因此可得2f(0)=2f(η),即存在η∈(0,2),使得f(η)=f(0). (2)因f(2)+f(3)=2f(0),即[*].又因为f(x)在[2,3]上连续,由介值定理 知,至少存在一点η
1
∈[2,3]使得f(η
1
)=f(0). 因f(0)在[0,η]上连续,在(0,η)上可导,且f(0)=f(η),由罗尔中值定理知,存在ξ
1
∈(0,η),有f’(ξ
1
)η=0. 又因为f(x)在[η,η
1
]上是连续的,在(η,η
1
)上是可导的,且满足f(η)=f(0)=f(η
1
),由罗尔中值定理知,存在ξ
2
∈(η,η
1
),有f’(ξ
2
)=0. 又因为f(x)在[ξ
1
,ξ
2
]上是二阶可导的,f’(ξ
1
)=f’(ξ
2
)=0,根据罗尔中值定理,至少存在—点ξ∈(ξ
1
,ξ
2
),使得f”(ξ)=0.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/CFT4777K
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考研数学三
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