设A为n阶矩阵，对于齐次线性方程(Ⅰ)Anx=0和(Ⅱ)An+1x=0，则必有

admin2015-04-30 94

问题设A为n阶矩阵，对于齐次线性方程(Ⅰ)Aⁿx=0和(Ⅱ)Aⁿ⁺¹x=0，则必有

选项 A、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解．
B、(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．
C、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解．
D、(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解．

答案A

解析若α是(I)的解，即Aⁿα=0，显然Aⁿ⁺¹α=A(Aⁿα)=AO=0，即α必是(Ⅱ)的解．可排除(C)和(D)．
若η是(Ⅱ)的解，即Aⁿ⁺¹η=0．假若η不是(Ⅰ)的解，即Aⁿη≠0，那么对于向量组η，Aη，A²η，…，Aⁿη，一方面这是n+1个n维向量必线性相关；另一方面，若
kη+k₁Aη+k₂A²η+…+k_nAⁿη=0，
用Aⁿ左乘上式，并把Aⁿ⁺¹η=0，Aⁿ⁺²η=0，…，代入，得kAⁿη=0．
由于Aⁿη≠0，必有k=0．对
k₁Aη+k₂A²η+…+k_nAⁿη=0，
用A^n-1左乘上式可推知k₁=0．
类似可知k_i=0(i=2，3，…，n)．于是向量组η，Aη，A²η，…，Aⁿη线性无关，两者矛盾．所以必有Aⁿη=0，即(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解．由此可排除(B)．故应选(A)．

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