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从抛物线y=x2一1的任意一点P(t,t2—1)引抛物线y=x2的两条切线, (I)求这两条切线的切线方程; (II)证明该两条切线与抛物线y=x2所围面积为常数.
从抛物线y=x2一1的任意一点P(t,t2—1)引抛物线y=x2的两条切线, (I)求这两条切线的切线方程; (II)证明该两条切线与抛物线y=x2所围面积为常数.
admin
2015-04-30
45
问题
从抛物线y=x
2
一1的任意一点P(t,t
2
—1)引抛物线y=x
2
的两条切线,
(I)求这两条切线的切线方程;
(II)证明该两条切线与抛物线y=x
2
所围面积为常数.
选项
答案
(I) 抛物线y=x
2
在点(x
0
,x
0
2
)处的切线方程为 y=x
0
2
+2x
0
(x一x
0
),即y=2x
0
x一x
0
2
. 若它通过点P,则 t
2
一1=2x
0
t—x
0
2
,即x
0
2
一2x
0
t+t
2
一1=0, 解得x
0
的两个解 x
1
=t一1, x
2
=t+1. ① 从而求得从抛物线y=x
2
—1的任意一点P(t,t
2
一1)引抛物线y=x
2
的两条切线的方程是 L
1
:y=2x
1
x一x
1
2
; L
2
:y=2x
2
x一x
2
2
. (Ⅱ) 这两条切线与抛物线)y=x
2
所围图形的面积为 [*]
解析
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0
考研数学三
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