从抛物线y=x2一1的任意一点P(t，t2—1)引抛物线y=x2的两条切线， (I)求这两条切线的切线方程； (II)证明该两条切线与抛物线y=x2所围面积为常数．

admin2015-04-30 50

问题从抛物线y=x²一1的任意一点P(t，t²—1)引抛物线y=x²的两条切线，
(I)求这两条切线的切线方程；
(II)证明该两条切线与抛物线y=x²所围面积为常数．

选项

答案(I) 抛物线y=x²在点(x₀，x₀²)处的切线方程为 y=x₀²+2x₀(x一x₀)，即y=2x₀x一x₀²．若它通过点P，则 t²一1=2x₀t—x₀²，即x₀²一2x₀t+t²一1=0，解得x₀的两个解 x₁=t一1， x₂=t+1． ① 从而求得从抛物线y=x²—1的任意一点P(t，t²一1)引抛物线y=x²的两条切线的方程是 L₁：y=2x₁x一x₁²； L₂：y=2x₂x一x₂²． (Ⅱ) 这两条切线与抛物线)y=x²所围图形的面积为 [*]

解析

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考研数学三

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从抛物线y=x2一1的任意一点P(t，t2—1)引抛物线y=x2的两条切线， (I)求这两条切线的切线方程； (II)证明该两条切线与抛物线y=x2所围面积为常数．

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