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设A为n阶实矩阵,AT为A的转置矩阵,则对于线性方程组(Ⅰ)AX=0和(Ⅱ)ATAX=0必有( ).
设A为n阶实矩阵,AT为A的转置矩阵,则对于线性方程组(Ⅰ)AX=0和(Ⅱ)ATAX=0必有( ).
admin
2013-10-11
62
问题
设A为n阶实矩阵,A
T
为A的转置矩阵,则对于线性方程组(Ⅰ)AX=0和(Ⅱ)A
T
AX=0必有( ).
选项
A、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解,但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解
B、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解,(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解
C、(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解,(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解
D、(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解,但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解
答案
B
解析
若x
i
是Ax=0的解,即Ax
i
=O,显然A
T
x
i
=0;
若Ax
i
是A
T
AX=0的解,即A
T
Ax
i
=0,则x
i
T
A
T
Ax
i
=0,即(Ax
i
)
T
(Ax
i
)=0.
若Ax
i
≠0,不妨设Ax
i
=(b
1
,b
2
,…,b
n
)
T
,b
1
≠0,则(Ax
i
)
T
(Ax
i
)=
,
与(Ax
i
)
T
(Ax
i
)=0矛盾,因而Ax
i
=0,即(Ⅰ)、(Ⅱ)同解.
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考研数学三
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