设A为n阶实矩阵,AT为A的转置矩阵,则对于线性方程组(Ⅰ)AX=0和(Ⅱ)ATAX=0必有( ).

admin2013-10-11  70

问题 设A为n阶实矩阵,AT为A的转置矩阵,则对于线性方程组(Ⅰ)AX=0和(Ⅱ)ATAX=0必有(    ).

选项 A、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解,但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解
B、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解,(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解
C、(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解,(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解
D、(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解,但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解

答案B

解析 若xi是Ax=0的解,即Axi=O,显然ATxi=0;
    若Axi是ATAX=0的解,即ATAxi=0,则xiTATAxi=0,即(Axi)T(Axi)=0.
    若Axi≠0,不妨设Axi=(b1,b2,…,bn)T,b1≠0,则(Axi)T(Axi)=
   与(Axi)T(Axi)=0矛盾,因而Axi=0,即(Ⅰ)、(Ⅱ)同解.
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