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A是三阶实对称矩阵,A的特征值是λ1=1,λ2=2,λ3=-1,且α1=(1,a+1,2)T,α2=(a-1,-a,1)T分别是λ1,λ2所对应的特征向量,A的伴随矩阵A*有特征值λ0,λ0所对应的特征向量是β0=(2,-5a,2a+1)T.试求a及λ0的
A是三阶实对称矩阵,A的特征值是λ1=1,λ2=2,λ3=-1,且α1=(1,a+1,2)T,α2=(a-1,-a,1)T分别是λ1,λ2所对应的特征向量,A的伴随矩阵A*有特征值λ0,λ0所对应的特征向量是β0=(2,-5a,2a+1)T.试求a及λ0的
admin
2017-06-14
19
问题
A是三阶实对称矩阵,A的特征值是λ
1
=1,λ
2
=2,λ
3
=-1,且α
1
=(1,a+1,2)
T
,α
2
=(a-1,-a,1)
T
分别是λ
1
,λ
2
所对应的特征向量,A的伴随矩阵A
*
有特征值λ
0
,λ
0
所对应的特征向量是β
0
=(2,-5a,2a+1)
T
.试求a及λ
0
的值.
选项
答案
设α
3
=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
是A关于λ
3
所对应的特征向量,由于A是实对称矩阵,有α
1
,α
2
,α
3
两两正交,于是 [*] 由①解出a=1或a=-1. 若a=1,从②、③可得α
3
=(-4,1,1)
T
,此时α
1
=(1,2,2)
T
,α
2
=(0,-1,1)
T
,β
0
=(2,-5,3)
T
.因为A关于λ的特征向量就是A
*
关于[*]的特征向量,现在β
0
不与任一个A的特征向量共线,说明β
0
不是A的特征向量,a=1不合题意,舍去. 若a=-1,从②、③得α
1
=(1,0,2)
T
,α
2
=(-2,1,1)
T
,α
3
=(-2,-5,1)
T
,β
0
=(2,5,-1)
T
,那么Aα
3
=λ
3
α
3
,即Aβ
0
=λ
3
β
0
,又|A|=λ
1
λ
2
λ
3
=-2,有λ
3
A
-1
β
0
=β
0
,即A
*
β
0
=[*]=2β
0
. 所以a=-l,λ
0
=2.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Cpu4777K
0
考研数学一
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