2. 考研
  3. A是三阶实对称矩阵，A的特征值是λ1=1，λ2=2，λ3=－1，且α1=(1，a+1，2)T，α2=(a－1，－a，1)T分别是λ1，λ2所对应的特征向量，A的伴随矩阵A*有特征值λ0，λ0所对应的特征向量是β0=(2，－5a，2a+1)T．试求a及λ0的

A是三阶实对称矩阵，A的特征值是λ1=1，λ2=2，λ3=－1，且α1=(1，a+1，2)T，α2=(a－1，－a，1)T分别是λ1，λ2所对应的特征向量，A的伴随矩阵A*有特征值λ0，λ0所对应的特征向量是β0=(2，－5a，2a+1)T．试求a及λ0的

admin2017-06-14  21
问题 A是三阶实对称矩阵，A的特征值是λ1=1，λ2=2，λ3=－1，且α1=(1，a+1，2)T，α2=(a－1，－a，1)T分别是λ1，λ2所对应的特征向量，A的伴随矩阵A*有特征值λ0，λ0所对应的特征向量是β0=(2，－5a，2a+1)T．试求a及λ0的值．
选项
答案设α3=(x1，x2，x3)T是A关于λ3所对应的特征向量，由于A是实对称矩阵，有α1，α2，α3两两正交，于是 [*] 由①解出a=1或a=－1． 若a=1，从②、③可得α3=(－4，1，1)T，此时α1=(1，2，2)T，α2=(0，－1，1)T，β0=(2，－5，3)T．因为A关于λ的特征向量就是A*关于[*]的特征向量，现在β0不与任一个A的特征向量共线，说明β0不是A的特征向量，a=1不合题意，舍去． 若a=－1，从②、③得α1=(1，0，2)T，α2=(－2，1，1)T，α3=(－2，－5，1)T，β0=(2，5，－1)T，那么Aα3=λ3α3，即Aβ0=λ3β0，又｜A｜=λ1λ2λ3=－2，有λ3A－1β0=β0，即A*β0=[*]=2β0． 所以a=－l，λ0=2．
解析
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考研数学一

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