2. 考研
  3. 设向量α=(α1，α2，…，αn)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0，记n阶矩阵A=αβT． 矩阵A的特征值和特征向量．

设向量α=(α1，α2，…，αn)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0，记n阶矩阵A=αβT． 矩阵A的特征值和特征向量．

admin2013-04-04  56
问题 设向量α=(α1，α2，…，αn)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0，记n阶矩阵A=αβT．
矩阵A的特征值和特征向量．
选项
答案设A是A的任一特征值，η是A属于特征值λ的特征向量，即Aη=λη，η≠0．那么 A2η=λAη=λTη． A2=0，故λTη=0，又因η≠0，从而矩阵A的特征值是λ=0(n重根)． 不妨设向量αβ的第1个分量α1≠0，b1≠0．对齐次线性方程组(0E-A)x=0的系数矩阵作初 等行蛮换．有[*] 得到基础解系 η1=(-b2，b1，0，…，0)T，η2=(-b3，0，b1，…，0)T，…，ηn-1=(-bn，0，0，…，b1)T． 于是矩阵A属于特征值λ=0的特征向量为 k1η1+k2η2+…+kn-1ηn-1，其中k1，k2，…，kn-1是不全为零的任意常数．
解析
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考研数学一

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