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(95年)假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,并且g"(x)≠0,f(a)=f(b)=g(a) =g(b)=0,试证: (1)在开区间(a,b)内g(x)≠0; (2)在开区间(a,b)内至少存在一点ξ,使
(95年)假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,并且g"(x)≠0,f(a)=f(b)=g(a) =g(b)=0,试证: (1)在开区间(a,b)内g(x)≠0; (2)在开区间(a,b)内至少存在一点ξ,使
admin
2017-04-20
58
问题
(95年)假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,并且g"(x)≠0,f(a)=f(b)=g(a)
=g(b)=0,试证:
(1)在开区间(a,b)内g(x)≠0;
(2)在开区间(a,b)内至少存在一点ξ,使
选项
答案
(1)反证法.若[*]∈(a,b),使g(c)=0,则由罗尔定理知[*]∈(a,c),ξ
1
∈(c,b),使g’(ξ
1
)=g’(ξ
2
)=0,从而[*]∈(ξ
1
,ξ
2
).使g"(ξ)=0,这与题设g"(x)≠0矛盾. (2)令φ(x)=f(x)g’(x)一f’(x)g(x) 由f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0知,φ(a)=φ(b)=0,由罗尔定理知[*]∈(a,b),使φ’(ξ)=0,即 f
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Cru4777K
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考研数学一
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