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[2014年第20题]下列结论中正确的是( )。
[2014年第20题]下列结论中正确的是( )。
admin
2018-07-10
42
问题
[2014年第20题]下列结论中正确的是( )。
选项
A、如果矩阵A中所有顺序主子式都小于零，则A一定为负定矩阵
B、设A=(a
ij
)
m×n
，若a
ij
=a
ji
，且a
ij
＞0(i，j=1，2，…，n)，则A一定为正定矩阵
C、如果二次型f(x
1
，x
2
，…，x
n
)中缺少平方项，则它一定不是正定二次型
D、二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
1
+x
2
+x
3
+x
1
x
2
+x
1
x
3
+x
2
x
3
所对应的矩阵是
答案
C
解析
如果二次型f(x
1
，x
2
，…，x
n
)中缺少平方项，例如缺少x
1
2
，而取x
1
=1，x
2
=…=x
n
=0，则有f(x
1
，x
2
，…，x
n
)=0，故不是正定二次型。A选项不成立，因为若取f(x
1
，x
2
)=一x
1
2
+x
2
2
+2x
1
x
2
，其矩阵A=
的所有顺序主子式都小于零，但将x
1
=0，x
2
=1代入，有f(x
1
，x
2
)=1＞0，所以不是负定的；B选项也不成立，例如取A=
，将对应二次型为f(x
1
，x
2
)=x
1
2
+x
2
2
+4x
1
x
2
，将x
1
=—1，x
2
=1代入，有f(x
1
，x
2
)=—2＜0所以不是正定的；D选项中二次型的矩阵为
，应选C。
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