(09年)设二次型 f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a一1)x32+2x1x3—2x2x3． (I)求二次型f的矩阵的所有特征值； (Ⅱ)若二次型f的规范形为y12+y22，求a的值．

admin2017-04-20 42

问题 (09年)设二次型
f(x₁，x₂，x₃)=ax₁²+ax₂²+(a一1)x₃²+2x₁x₃—2x₂x₃．
(I)求二次型f的矩阵的所有特征值；
(Ⅱ)若二次型f的规范形为y₁²+y₂²，求a的值．

选项

答案(I)f的矩阵为[*]．由特征方程 [*] =(λ—a)[(λ一a)²+(λ一a)一2]=(λ—a)(λ—a+2)(λ—a一1)=0，得A的特征值为λ₁=a，λ₂=a一2，λ₃=a+1． (Ⅱ)由f的规范形知f的秩为2，正惯性指数为2(负惯性指数为0)，因此，A的特征值2个为正，1个为0．若λ₁=a=0，则λ₂=一2＜0，λ₃=1，不合题意；若λ

解析

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考研数学一

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