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设A为三阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的三维列向量,且满足Aα1=α1+α2+α3,Aα2=2α2+α3,Aα3=2α2+3α3。 (Ⅰ)求矩阵A的特征值; (Ⅱ)求可逆矩阵P使得P—1AP=A。
设A为三阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的三维列向量,且满足Aα1=α1+α2+α3,Aα2=2α2+α3,Aα3=2α2+3α3。 (Ⅰ)求矩阵A的特征值; (Ⅱ)求可逆矩阵P使得P—1AP=A。
admin
2017-01-21
51
问题
设A为三阶矩阵,α
1
,α
2
,α
3
是线性无关的三维列向量,且满足Aα
1
=α
1
+α
2
+α
3
,Aα
2
=2α
2
+α
3
,Aα
3
=2α
2
+3α
3
。
(Ⅰ)求矩阵A的特征值;
(Ⅱ)求可逆矩阵P使得P
—1
AP=A。
选项
答案
(Ⅰ)由已知可得 A(α
1
,α
2
,α
3
)=(α
1
+α
2
+α
3
,2α
2
+α
3
,2α
2
+3α
3
)=(α
1
,α
2
,α
3
)[*] 记P
1
=(α
1
,α
2
,α
3
),B=[*],则有AP
1
=P
1
B。 由于α
1
,α
2
,α
3
线性无关,即矩阵P
1
可逆,所以P
1
—1
AP
1
=B,因此矩阵A与B相似,则 |λE—B|=[*]=(λ—1)
2
(λ—4),矩阵B的特征值是1,1,4,故矩阵A的特征值为1,1,4。 (Ⅱ)由(E—B)x=0,得矩阵B对应于特征值λ=1的特征向量β
1
=(—1,1,0)
T
,β
2
=(—2,0,1)
T
;由(4E—B)x=0,得对应于特征值λ=4的特征向量β
3
=(0,1,1)
T
。 令P
2
=(β
1
,β
2
,β
3
)=[*], 得P
2
—1
P
1
—1
BP
2
=[*] 则 P
2
—1
P
1
—1
AP
1
P
2
=[*] 即当P=P
1
P
2
=(α
1
,α
2
,α
3
)[*]=(—α
1
+α
2
,—2α
1
+α
3
,α
2
+α
3
)时,有P
—1
AP=Λ=[*]
解析
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考研数学三
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