2. 考研
  3. 设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3。 （Ⅰ）求矩阵A的特征值； （Ⅱ）求可逆矩阵P使得P—1AP=A。

设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3。 （Ⅰ）求矩阵A的特征值； （Ⅱ）求可逆矩阵P使得P—1AP=A。

admin2017-01-21  54
问题 设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3。
（Ⅰ）求矩阵A的特征值；
（Ⅱ）求可逆矩阵P使得P—1AP=A。
选项
答案（Ⅰ）由已知可得 A（α1，α2，α3）=（α1+α2+α3，2α2+α3，2α2+3α3）=（α1，α2，α3）[*] 记P1=（α1，α2，α3），B=[*]，则有AP1=P1B。 由于α1，α2，α3线性无关，即矩阵P1可逆，所以P1—1AP1=B，因此矩阵A与B相似，则 |λE—B|=[*]=（λ—1）2（λ—4），矩阵B的特征值是1，1，4，故矩阵A的特征值为1，1，4。 （Ⅱ）由（E—B）x=0，得矩阵B对应于特征值λ=1的特征向量β1=（—1，1，0）T，β2=（—2，0，1）T；由（4E—B）x=0，得对应于特征值λ=4的特征向量β3=（0，1，1）T。 令P2=（β1，β2，β3）=[*]， 得P2—1P1—1BP2=[*] 则 P2—1P1—1AP1P2=[*] 即当P=P1P2=（α1，α2，α3）[*]=（—α1+α2，—2α1+α3，α2+α3）时，有P—1AP=Λ=[*]
解析
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考研数学三

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