设非齐次方程组 (I) 有解，且系数矩阵A的秩r(A)=r＜n(b1，b2，…，bn不全为零)．证明：方程组(I)的所有解向量中线性无关的最大个数恰为n一r+1个．

admin2017-07-26 75

问题设非齐次方程组

(I)
有解，且系数矩阵A的秩r(A)=r＜n(b₁，b₂，…，b_n不全为零)．证明：方程组(I)的所有解向量中线性无关的最大个数恰为n一r+1个．

选项

答案因r(A)=r＜n，可设ξ₁，ξ₂，…，ξ_n—r是(I)的对应齐次线性方程组的基础解系，η^*是(I)的一个特解．由η^*不能被ξ₁，ξ₂，…，ξ_n—r线性表示，且ξ₁，ξ₂，…，ξ_n—r线性无关，可知η^*，ξ₁，ξ₂，…，ξ_n—r线性无关，而方程组(I)的任意一解η都可以表示成η^*和ξ₁，ξ₂，…，ξ_n—r的线性组合． η=η^*=η^*+k₁ξ₁+k₂ξ₂+…+k_n—rξ_n—r．所以(I)的解向量的秩≤n一r+1．又向量组η^*，η^*+ξ₁，η^*+ξ₂，…，η^*+ξ_n—r是(I)的n一r+1个特解，考察 k₀η^*+k₁(η^*+ξ₁)+k₂(η^*+ξ₂)+…+k_n—r(η^*+ξ_n—r)=0，整理得 (k₀+k₁+k₂+…+k_n—r)η^*+k₁ξ₁+k₂ξ₂+…+k_n—rξ_n—r=0．因η^*，ξ₁，ξ₂，…，ξ_n—r线性无关，上式成立当且仅当 [*] 即 k₁=k₂=…=k_n—r=k₀=0．从而得证η^*，η^*+ξ₁，η^*+ξ₂，…，η^*+ξ_n—r线性无关， r(η^*，η^*+ξ₁，η^*+ξ₂，…，η^*+ξ_n—r)n一r+1，即方程组(I)至少有n一r+1个线性无关的解向量，即(I)的解向量组的秩≥n一r+1．综上所述，方程组(I)的所有解向量中线性无关的最大个数恰为n一r+1个．

解析

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考研数学三

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设非齐次方程组 (I) 有解，且系数矩阵A的秩r(A)=r＜n(b1，b2，…，bn不全为零)．证明：方程组(I)的所有解向量中线性无关的最大个数恰为n一r+1个．

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