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设非齐次方程组 (I) 有解,且系数矩阵A的秩r(A)=r<n(b1,b2,…,bn不全为零).证明:方程组(I)的所有解向量中线性无关的最大个数恰为n一r+1个.
设非齐次方程组 (I) 有解,且系数矩阵A的秩r(A)=r<n(b1,b2,…,bn不全为零).证明:方程组(I)的所有解向量中线性无关的最大个数恰为n一r+1个.
admin
2017-07-26
97
问题
设非齐次方程组
(I)
有解,且系数矩阵A的秩r(A)=r<n(b
1
,b
2
,…,b
n
不全为零).证明:方程组(I)的所有解向量中线性无关的最大个数恰为n一r+1个.
选项
答案
因r(A)=r<n,可设ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n—r
是(I)的对应齐次线性方程组的基础解系,η
*
是(I)的一个特解. 由η
*
不能被ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n—r
线性表示,且ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n—r
线性无关,可知η
*
,ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n—r
线性无关,而方程组(I)的任意一解η都可以表示成η
*
和ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n—r
的线性组合. η=η
*
=η
*
+k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+…+k
n—r
ξ
n—r
. 所以(I)的解向量的秩≤n一r+1. 又向量组η
*
,η
*
+ξ
1
,η
*
+ξ
2
,…,η
*
+ξ
n—r
是(I)的n一r+1个特解,考察 k
0
η
*
+k
1
(η
*
+ξ
1
)+k
2
(η
*
+ξ
2
)+…+k
n—r
(η
*
+ξ
n—r
)=0, 整理得 (k
0
+k
1
+k
2
+…+k
n—r
)η
*
+k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+…+k
n—r
ξ
n—r
=0. 因η
*
,ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n—r
线性无关,上式成立当且仅当 [*] 即 k
1
=k
2
=…=k
n—r
=k
0
=0. 从而得证η
*
,η
*
+ξ
1
,η
*
+ξ
2
,…,η
*
+ξ
n—r
线性无关, r(η
*
,η
*
+ξ
1
,η
*
+ξ
2
,…,η
*
+ξ
n—r
)n一r+1,即方程组(I)至少有n一r+1个线性无关的解向量,即(I)的解向量组的秩≥n一r+1. 综上所述,方程组(I)的所有解向量中线性无关的最大个数恰为n一r+1个.
解析
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考研数学三
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