已知二次型 f(x1，x2，x3)=4x22－3x32+4x1x2－4x1x3+8x2x3．用正交变换把二次型f化为标准形，并求出相应的正交矩阵．

admin2019-12-26 65

问题已知二次型
f(x₁，x₂，x₃)=4x₂²－3x₃²+4x₁x₂－4x₁x₃+8x₂x₃．
用正交变换把二次型f化为标准形，并求出相应的正交矩阵．

选项

答案矩阵A的特征多项式为 [*] 由此得矩阵A的特征值为λ₁=1，λ₂=6，λ₃=－6．于是，二次型f可通过正交变换x=Qy化为标准形 f=y₁²+6y₂²－6y₃²．对于特征值λ₁=1，由于 [*] 故对应于特征值λ₁=1的特征向量可取为ξ₁=(2，0，－1)^T．类似地，对应于特征值λ₂=6，λ₃=－6的特征向量可分别取为ξ₂=(1，5，2)^T，ξ₃=(1，－1，2)^T．因为A是实对称矩阵，且λ₁，λ₂，λ₃互异，故x₁，x₂，x₃构成正交向量组，将其单位化得 [*] 于是，所求的正交矩阵为 [*] 故对二次型f作正交变换 [*] 则可将f化为标准形f=y₁²+6y₂²－6y₃²．

解析

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考研数学三

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求微分方程y"-2y’-e2x=0满足条件y(0)=1，y’(0)=1的解．

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