[2010年] 已知曲线L的方程为y=1一｜x｜，x∈[一1，1]，起点是(一1，0)，终点是(1，0)，则曲线积分∫Lxydx+x2dy=______．

admin2021-01-15 2

问题 [2010年] 已知曲线L的方程为y=1一｜x｜，x∈[一1，1]，起点是(一1，0)，终点是(1，0)，则曲线积分∫_Lxydx+x²dy=______．

选项

答案0

解析对坐标的平面曲线积分，即利用格林公式将其转化为二重积分计算，这时二重积分的积分区域D为闭区域，且其边界线L取的是负向．

如图所示，记

．把L₁=

则L+L₁为闭曲线，其所围区域记为D，其中D的边界线取负向．此时P(x，y)=xy，Q(x，y)=x²，且

．由格林公式得到
∮_L+L₁xydx+x²dy=

(对称性)．
于是 ∫_Lxydx+x²dy=∮_L+L₁xydx+x²dy+∫_-L₁+x²dy
=0+∫_-L₁xydx+x²dy=∫_-1¹x·0dx+∫_-L₁x²·0dy=0．[img][/img]

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