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下列命题中, (1)如果矩阵AB=E,则A可逆且A-1=B. (2)如果n阶矩阵A,B满足(AB)2=E,则(BA)2=E. (3)如果矩阵A,B均为n阶不可逆矩阵,则A+B必不可逆. (4)如果矩阵A,B均为n阶不可逆矩阵,则AB必不可逆. 正确的是(
下列命题中, (1)如果矩阵AB=E,则A可逆且A-1=B. (2)如果n阶矩阵A,B满足(AB)2=E,则(BA)2=E. (3)如果矩阵A,B均为n阶不可逆矩阵,则A+B必不可逆. (4)如果矩阵A,B均为n阶不可逆矩阵,则AB必不可逆. 正确的是(
admin
2016-05-31
74
问题
下列命题中,
(1)如果矩阵AB=E,则A可逆且A
-1
=B.
(2)如果n阶矩阵A,B满足(AB)
2
=E,则(BA)
2
=E.
(3)如果矩阵A,B均为n阶不可逆矩阵,则A+B必不可逆.
(4)如果矩阵A,B均为n阶不可逆矩阵,则AB必不可逆.
正确的是( )
选项
A、(1)(2)
B、(1)(4)
C、(2)(3)
D、(2)(4)
答案
D
解析
如果A、B均为n阶矩阵,命题(1)当然正确,但是题中没有n阶矩阵这一条件,故(1)不正确.例如
显然A不可逆.
若A、B为n阶矩阵,(AB)
2
=E,即(AB)(AB)=E,则可知A、B均可逆,
于是ABA=B
-1
,从而BABA=E.即(BA)
2
=E.因此(2)正确.
若设
显然A、B都不可逆,但A+B=
可逆,可知(3)不正确.
由于A、B均为n阶不可逆矩阵,知|A|=|B|=0,且结合行列式乘法公式,有|AB|=
|A||B|=0,故AB必不可逆.(4)正确.
所以应选D.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/DLT4777K
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考研数学三
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