2. 考研
  3. 下列命题中， (1)如果矩阵AB=E，则A可逆且A-1=B． (2)如果n阶矩阵A，B满足(AB)2=E，则(BA)2=E． (3)如果矩阵A，B均为n阶不可逆矩阵，则A+B必不可逆． (4)如果矩阵A，B均为n阶不可逆矩阵，则AB必不可逆． 正确的是(

下列命题中， (1)如果矩阵AB=E，则A可逆且A-1=B． (2)如果n阶矩阵A，B满足(AB)2=E，则(BA)2=E． (3)如果矩阵A，B均为n阶不可逆矩阵，则A+B必不可逆． (4)如果矩阵A，B均为n阶不可逆矩阵，则AB必不可逆． 正确的是(

admin2016-05-31  34
问题 下列命题中，
(1)如果矩阵AB=E，则A可逆且A-1=B．
(2)如果n阶矩阵A，B满足(AB)2=E，则(BA)2=E．
(3)如果矩阵A，B均为n阶不可逆矩阵，则A+B必不可逆．
(4)如果矩阵A，B均为n阶不可逆矩阵，则AB必不可逆．
正确的是(    )
选项 A、(1)(2)
B、(1)(4)
C、(2)(3)
D、(2)(4)
答案D
解析 如果A、B均为n阶矩阵，命题(1)当然正确，但是题中没有n阶矩阵这一条件，故(1)不正确．例如

显然A不可逆．
    若A、B为n阶矩阵，(AB)2=E，即(AB)(AB)=E，则可知A、B均可逆，
于是ABA=B-1，从而BABA=E．即(BA)2=E．因此(2)正确．
若设
显然A、B都不可逆，但A+B=可逆，可知(3)不正确．
由于A、B均为n阶不可逆矩阵，知｜A｜=｜B｜=0，且结合行列式乘法公式，有｜AB｜=
｜A｜｜B｜=0，故AB必不可逆．(4)正确．
    所以应选D．
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考研数学三

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