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设A,B为n阶方阵,设P,Q为n阶可逆矩阵,下列命题不正确的是( )
设A,B为n阶方阵,设P,Q为n阶可逆矩阵,下列命题不正确的是( )
admin
2020-03-02
23
问题
设A,B为n阶方阵,设P,Q为n阶可逆矩阵,下列命题不正确的是( )
选项
A、若B=AQ,则A的列向量组与B的列向量组等价.
B、若B=PA,则A的行向量组与B的行向量组等价.
C、若B=PAQ,则A的行(列)向量组与B的行(列)向量组等价.
D、若A的行(列)向量组与矩阵B的行(列)向量组等价,则矩阵A与B等价.
答案
C
解析
将等式B=AQ中的A、B按列分块,设A=(α
1
,α
2
,…,α
n
),B=(β
1
,β
2
,…,β
n
),则有
(β
1
,β
2
,…,β
n
)=(α
1
,α
2
,…,α
n
)
表明向量组β
1
,β
2
,…,β
n
可由向量组α
1
,α
2
,…,α
n
线性表示,表示的系数依次为Q的第一列至第n列所对应的各元素.由于Q可逆,从而有A=BQ
-1
,即(α
1
,α
2
,…,α
n
)=(β
1
,β
2
,…,β
n
)Q
-1
,表明向量组α
1
,α
2
,…,α
n
可由向量组β
1
,β
2
,…,β
n
线性表示,因此这两个向量组等价,故选项A的命题正确.
类似地,对于PA=B,将A与B按行分块可得出A与B的行向量组等价,从而选项B的命题正确.
下例可表明选项C的命题不正确.
设
,
则P、Q均为可逆矩阵,且
B=PAQ=
但B的行(列)向量组与A的行(列)向量组不等价.
对于选项D,若A的行(列)向量组与B的行(列)向量组等价,则这两个向量组的秩相同,从而矩阵A与B的秩相同,故矩阵A与B等价(两个同型矩阵等价的充分必要条件是秩相等).所以应选C.
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考研数学一
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