设A，B为n阶方阵，设P，Q为n阶可逆矩阵，下列命题不正确的是( )

admin2020-03-02 36

问题设A，B为n阶方阵，设P，Q为n阶可逆矩阵，下列命题不正确的是( )

选项 A、若B＝AQ，则A的列向量组与B的列向量组等价．
B、若B＝PA，则A的行向量组与B的行向量组等价．
C、若B＝PAQ，则A的行(列)向量组与B的行(列)向量组等价．
D、若A的行(列)向量组与矩阵B的行(列)向量组等价，则矩阵A与B等价．

答案C

解析将等式B＝AQ中的A、B按列分块，设A＝(α₁，α₂，…，α_n)，B＝(β₁，β₂，…，β_n)，则有
(β₁，β₂，…，β_n)＝(α₁，α₂，…，α_n)

表明向量组β₁，β₂，…，β_n可由向量组α₁，α₂，…，α_n线性表示，表示的系数依次为Q的第一列至第n列所对应的各元素．由于Q可逆，从而有A＝BQ^-1，即(α₁，α₂，…，α_n)＝(β₁，β₂，…，β_n)Q^-1，表明向量组α₁，α₂，…，α_n可由向量组β₁，β₂，…，β_n线性表示，因此这两个向量组等价，故选项A的命题正确．
类似地，对于PA＝B，将A与B按行分块可得出A与B的行向量组等价，从而选项B的命题正确．
下例可表明选项C的命题不正确．
设

，
则P、Q均为可逆矩阵，且
B＝PAQ＝

但B的行(列)向量组与A的行(列)向量组不等价．
对于选项D，若A的行(列)向量组与B的行(列)向量组等价，则这两个向量组的秩相同，从而矩阵A与B的秩相同，故矩阵A与B等价(两个同型矩阵等价的充分必要条件是秩相等)．所以应选C．

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考研数学一

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