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设函数f(x)在闭区间[0,2a](a>0)上连续,且f(0)=f(2a)≠f(a), 证明:在开区间(0,a)上至少存在一点ξ,使得f(ξ)=f(ξ+a).
设函数f(x)在闭区间[0,2a](a>0)上连续,且f(0)=f(2a)≠f(a), 证明:在开区间(0,a)上至少存在一点ξ,使得f(ξ)=f(ξ+a).
admin
2011-06-20
113
问题
设函数f(x)在闭区间[0,2a](a>0)上连续,且f(0)=f(2a)≠f(a),
证明:在开区间(0,a)上至少存在一点ξ,使得f(ξ)=f(ξ+a).
选项
答案
构造辅助函数,F(x)=f(x+a)-f(x),x∈[0,a],F(x)在[0,a]连续,且F(0)=f(a)-f(0),由于f(0)=f(2a),则F(a)=f(2a)-f(a)=f(0)-f(a),又F(0).F(a)=[f(a)-f(0)].[f(0)-f(a)]=-[f(a)-f(0)]
2
<0,由零点定理知:在(0,a)至少存在一点ξ,使F(ξ)=0,即f(ξ+a)-f(ξ)=0,f(ξ+a)=f(ξ),ξ∈(0,a).
解析
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0
数学
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