设n阶矩阵A=(α1,α2,…,αn),B=(β1,β2,…,βn),AB=(γ1,γ2,…,γn),记向量组(1):α1,α2,…,αn;(2):β1,β2,…,βn(3):γ1,γ2,…,γn,若向量组(3)线性相关,则( ).

admin2022-11-04  32

问题 设n阶矩阵A=(α1,α2,…,αn),B=(β1,β2,…,βn),AB=(γ1,γ2,…,γn),记向量组(1):α1,α2,…,αn;(2):β1,β2,…,βn(3):γ1,γ2,…,γn,若向量组(3)线性相关,则(    ).

选项 A、(1),(2)都线性相关
B、(1)线性相关
C、(2)线性相关
D、(1),(2)至少有一个线性相关

答案D

解析 若α1,α2,…,αn线性无关,β1,β2,…,βn线性无关,则r(A)=n,r(B)=n,于是r(AB)=n.因为γ1,γ2,…,γn线性相关,所以r(AB)=r(γ1,γ2,…,γn)<<n,故α1,α2,…,αn与β1,β2,…,βn至少有一个线性相关,选(D).
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