2. 考研
  3. 设函数f(x)可导且(k＞0)，对任意的xn，作xn+1=f(xn)(n=0，1，2，…)，证明：存在且满足方程f(x)=x．

设函数f(x)可导且(k＞0)，对任意的xn，作xn+1=f(xn)(n=0，1，2，…)，证明：存在且满足方程f(x)=x．

admin2018-05-25  44
问题 设函数f(x)可导且(k＞0)，对任意的xn，作xn+1=f(xn)(n=0，1，2，…)，证明：存在且满足方程f(x)=x．
选项
答案xn+1－xn=f(xn)－f(xn－1)=f’(ξn)(xn－xn－1)，因为f’(x)≥0，所以xn+1－ xn与xn－xn－1同号，故{Xn}单调． ｜xn｜=｜f(xn－1)｜=｜f(xn)+∫xnxn－1 f’(x)dx｜ ≤｜f(xn)｜+｜∫xnxn－1f’(x)dx｜≤｜f(xn)｜+∫－∞∞ [*] dx=｜f(xn)｜+πk，即{xn}有界，于是[*]存在，根据f(x)的可导性得f(x)处处连续，等式xn+1=f(xn)两边令n→∞，得 [*] 原命题得证．
解析
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考研数学三

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