设A是n阶矩阵，满足A2=A，且r(A)=r(0≤r≤n)．证明：其中Er是r阶单位阵．

admin2016-09-19 25

问题设A是n阶矩阵，满足A²=A，且r(A)=r(0≤r≤n)．证明：

其中E_r是r阶单位阵．

选项

答案A²=A，A的特征值取值为1，0，由A－A²=A(E－A)=O知 r(A)+r(E－A)≤n， r(A)+r(E－A)≥r(A+E－A)=r(E)=n，故，r(A)+r(E－A)=n，r(A)=r，从而r(E－A)=n－r．对λ=1，(E－A)X=0，因r(E－A)=n－r，故有r个线性无关特征向量，设为ξ₁，ξ₂，…，ξ_r；对λ=0，(0E－A)X=0，即AX=0，因r(A)=r，有n－r个线性无关特征向量，设为ξ_r+1，ξ_r+2，…，ξ_n．故存在可逆阵 P=[ξ₁，ξ₂，…，ξ_n]，使得P^－1AP=[*]

解析

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