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设A是n阶矩阵,满足A2=A,且r(A)=r(0≤r≤n).证明: 其中Er是r阶单位阵.
设A是n阶矩阵,满足A2=A,且r(A)=r(0≤r≤n).证明: 其中Er是r阶单位阵.
admin
2016-09-19
72
问题
设A是n阶矩阵,满足A
2
=A,且r(A)=r(0≤r≤n).证明:
其中E
r
是r阶单位阵.
选项
答案
A
2
=A,A的特征值取值为1,0,由A-A
2
=A(E-A)=O知 r(A)+r(E-A)≤n, r(A)+r(E-A)≥r(A+E-A)=r(E)=n, 故,r(A)+r(E-A)=n,r(A)=r,从而r(E-A)=n-r. 对λ=1,(E-A)X=0,因r(E-A)=n-r,故有r个线性无关特征向量,设为ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
r
; 对λ=0,(0E-A)X=0,即AX=0,因r(A)=r,有n-r个线性无关特征向量,设为ξ
r+1
,ξ
r+2
,…,ξ
n
. 故存在可逆阵 P=[ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n
], 使得P
-1
AP=[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/BkT4777K
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考研数学三
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