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A是3阶矩阵,有特征值λ1=λ2=2,对应两个线性无关的特征向量为ξ1,ξ2,λ3=-2对应的特征向量是ξ3. 证明:任意3维非零向量β都是A2的特征向量,并求对应的特征值.
A是3阶矩阵,有特征值λ1=λ2=2,对应两个线性无关的特征向量为ξ1,ξ2,λ3=-2对应的特征向量是ξ3. 证明:任意3维非零向量β都是A2的特征向量,并求对应的特征值.
admin
2018-07-26
864
问题
A是3阶矩阵,有特征值λ
1
=λ
2
=2,对应两个线性无关的特征向量为ξ
1
,ξ
2
,λ
3
=-2对应的特征向量是ξ
3
.
证明:任意3维非零向量β都是A
2
的特征向量,并求对应的特征值.
选项
答案
因A有特征值λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=一2,故A
2
有特征值μ
1
=μ
2
=μ
3
=4.对应的特征向量仍是ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
,且ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
线性无关.故存在可逆矩阵P=(ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
),使得 P
-1
A
2
P=4E,A
2
=P(4E)P
-1
=4E, 从而对任意的β≠0,有A
2
β=4Eβ=4β,故知任意非零向量β都是A
2
的对应于λ=4的特征向量
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Dyg4777K
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考研数学一
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