A是3阶矩阵,有特征值λ1=λ2=2,对应两个线性无关的特征向量为ξ1,ξ2,λ3=-2对应的特征向量是ξ3. 证明:任意3维非零向量β都是A2的特征向量,并求对应的特征值.

admin2018-07-26  864

问题 A是3阶矩阵,有特征值λ1=λ2=2,对应两个线性无关的特征向量为ξ1,ξ2,λ3=-2对应的特征向量是ξ3
证明:任意3维非零向量β都是A2的特征向量,并求对应的特征值.

选项

答案因A有特征值λ1=λ2=2,λ3=一2,故A2有特征值μ1=μ2=μ3=4.对应的特征向量仍是ξ1,ξ2,ξ3,且ξ1,ξ2,ξ3线性无关.故存在可逆矩阵P=(ξ1,ξ2,ξ3),使得 P-1A2P=4E,A2=P(4E)P-1=4E, 从而对任意的β≠0,有A2β=4Eβ=4β,故知任意非零向量β都是A2的对应于λ=4的特征向量

解析
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