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  3. 若A是n阶正定矩阵，证明A－1，A*也是正定矩阵．

若A是n阶正定矩阵，证明A－1，A*也是正定矩阵．

admin2016-10-26  61
问题 若A是n阶正定矩阵，证明A－1，A*也是正定矩阵．
选项
答案因A正定，所以AT=A．那么(A－1)T=(AT)－1=A－1，即A－1是对称矩阵． 设A的特征值是λ1，λ2，…，λn，那么A－1的特征值是[*]，由A正定知λi＞0(i=1，2，…，n)．因此A－1的特征值[*]＞0(i=1，2，…，n)．从而A－1正定． 由(A*)T=(AT)*=A*，知A*是对称矩阵．因为ATA*A=｜A｜A，由矩阵A可逆，知A* 与｜A｜A合同．又由A正定，知A与E合同，即CTAC=E． 由A正定，知行列式｜A｜＞0，那么令D=[*]，则D可逆，且DT(｜A｜A)D=E． 即｜A｜A与E合同．从而A*与E合同．故A*正定．
解析
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考研数学一

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