若A是n阶正定矩阵，证明A－1，A*也是正定矩阵．

admin2016-10-26 90

问题若A是n阶正定矩阵，证明A^－1，A^*也是正定矩阵．

选项

答案因A正定，所以A^T=A．那么(A^－1)^T=(A^T)^－1=A^－1，即A^－1是对称矩阵．设A的特征值是λ₁，λ₂，…，λ_n，那么A^－1的特征值是[*]，由A正定知λ_i＞0(i=1，2，…，n)．因此A^－1的特征值[*]＞0(i=1，2，…，n)．从而A^－1正定．由(A^*)^T=(A^T)^*=A^*，知A^*是对称矩阵．因为A^TA^*A=｜A｜A，由矩阵A可逆，知A^* 与｜A｜A合同．又由A正定，知A与E合同，即C^TAC=E．由A正定，知行列式｜A｜＞0，那么令D=[*]，则D可逆，且D^T(｜A｜A)D=E．即｜A｜A与E合同．从而A^*与E合同．故A^*正定．

解析

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