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若A是n阶正定矩阵,证明A-1,A*也是正定矩阵.
若A是n阶正定矩阵,证明A-1,A*也是正定矩阵.
admin
2016-10-26
57
问题
若A是n阶正定矩阵,证明A
-1
,A
*
也是正定矩阵.
选项
答案
因A正定,所以A
T
=A.那么(A
-1
)
T
=(A
T
)
-1
=A
-1
,即A
-1
是对称矩阵. 设A的特征值是λ
1
,λ
2
,…,λ
n
,那么A
-1
的特征值是[*],由A正定知λ
i
>0(i=1,2,…,n).因此A
-1
的特征值[*]>0(i=1,2,…,n).从而A
-1
正定. 由(A
*
)
T
=(A
T
)
*
=A
*
,知A
*
是对称矩阵.因为A
T
A
*
A=|A|A,由矩阵A可逆,知A
*
与|A|A合同.又由A正定,知A与E合同,即C
T
AC=E. 由A正定,知行列式|A|>0,那么令D=[*],则D可逆,且D
T
(|A|A)D=E. 即|A|A与E合同.从而A
*
与E合同.故A
*
正定.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/bhu4777K
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考研数学一
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