甲、乙、丙、丁、戊、己6人排队，则在以下各要求下，各有多少种不同的排队方法? (1)甲不在排头； (2)甲不在排头并且乙不在排尾； (3)甲乙两人相邻； (4)甲乙两人不相邻； (5)甲始终在乙的前面(可相邻也可不相

admin2016-07-25 68

问题甲、乙、丙、丁、戊、己6人排队，则在以下各要求下，各有多少种不同的排队方法?
(1)甲不在排头；
(2)甲不在排头并且乙不在排尾；
(3)甲乙两人相邻；
(4)甲乙两人不相邻；
(5)甲始终在乙的前面(可相邻也可不相邻)．

选项

答案假设6人一字排开，排入如下格子： [*] (1)剔除法． 6个人任意排，有P₆⁶种方法；甲在排头，其他人任意排，有P₅⁵种方法；故甲不在排头的方法有P₆⁶一P₅⁵=600(种)． (2)特殊元素优先法．有两个特殊元素：甲和乙．如果我们先让甲挑位置，甲不能在排头，故甲可以选排尾和中间的4个位置．这时，如果甲占了排尾，则乙就变成了没有要求的元素；如果甲占了中间4个位置中的一个，则乙还有特殊要求：不能坐排尾；故按照甲的位置分为两类：第一类：甲在排尾，其他人没有任何要求，故有P₅⁵；第二类：甲从中间4个位置中选1个位置，即C₄¹;再让乙选，不能在排尾，不能在甲占的位置，故还有4个位置可选，C₄¹；余下的4个人任意排，即P₄⁴；故有C₄¹C₄¹P₄⁴；加法原理，不同排队方法有P₅⁵+C₄¹C₄¹P₄⁴=504(种)． (3)相邻问题用捆绑法．第一步：甲乙两人必须相邻，故我们将甲乙两人用绳子捆起来，当作一个元素来处理，则此时有5个元素，可以任意排，即P₅⁵；第二步：甲乙两人排一下序，即P₂²；根据乘法原理，不同排队方法有P₅⁵P₂²=240(种)； (4)不相邻问题用插空法．第一步：除甲乙外的4个人排队，即P₄⁴；第二步：4个人中间形成了5个空，挑两个空让甲乙两人排进去，两人必不相邻，即P₅²；根据乘法原理，不同排队方法有P₄⁴P₅²=480(种)； (5)定序问题用消序法．第一步：6个人任意排，即P₆⁶；第二步：因为甲始终在乙的前面，所以单看甲乙两人时，两人只有一种顺序，但是6个人任意排时，甲乙两人有P₂²种排序，故需要消掉两人的顺序，用乘法原理的逆运算，即除法，故有[*]；故不同排队方法有[*]=360(种)．

解析

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