设曲线L过点(1，1)，L上任意一点P(x，y)处的切线交x轴于点T，O为坐标原点，若｜PT｜=｜OT｜。试求曲线L的方程。

admin2019-06-25 84

问题设曲线L过点(1，1)，L上任意一点P(x，y)处的切线交x轴于点T，O为坐标原点，若｜PT｜=｜OT｜。试求曲线L的方程。

选项

答案设曲线方程为y=y(x)，则y(1)=1，过点P(x，y)处的切线方程为 Y－y=y’(X－x)，则切线与x轴的交点为T(x－[*]，0)。根据｜PT｜=｜OT｜，有 [*] 上式两边同时平方，整理可得y’(x²－y²)=2xy，该一阶微分方程为齐次方程，令u=[*]，可得[*]，两边取积分得 [*] 解得u+[*]，将初始条件y(1)=1代入，可得C=[*]，故曲线L的方程为 x²+y²－2y=0。

解析

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