设g(x)=，f(x)=∫0xg(t)dt． (1)证明：y=f(x)为奇函数，并求其曲线的水平渐近线； (2)求曲线y=f(x)与它所有水平渐近线及Oy轴围成图形的面积．

admin2016-09-13 60

问题设g(x)=

，f(x)=∫₀^xg(t)dt．
(1)证明：y=f(x)为奇函数，并求其曲线的水平渐近线；
(2)求曲线y=f(x)与它所有水平渐近线及Oy轴围成图形的面积．

选项

答案显然，g(0)=1，而当x≠0时由“1^∞”型极限得 g(x)=[*]，x≠0，其中，[*]=x²，则不论x是否为零都有g(x)=[*]，f(x)=∫₀^x[*]dt． (1)因令t=－u有[*]=－f(x)，故f(x)为奇函数．因 [*] 故y=f(x)有两条水平渐近线y=±[*] (2)由所考虑的平面图形的对称性及分部积分法得所求的面积为 [*] 其中，由洛必达法则得[*]，而 [*]

解析

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考研数学三

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设f∈R2π，并且f(x)是奇函数，则它的傅里叶多项式的各项都是正弦函数；若f(x)是偶函数，则它的傅里叶多项式的各项除常数项外都是余弦函数．

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