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设g(x)=,f(x)=∫0xg(t)dt. (1)证明:y=f(x)为奇函数,并求其曲线的水平渐近线; (2)求曲线y=f(x)与它所有水平渐近线及Oy轴围成图形的面积.
设g(x)=,f(x)=∫0xg(t)dt. (1)证明:y=f(x)为奇函数,并求其曲线的水平渐近线; (2)求曲线y=f(x)与它所有水平渐近线及Oy轴围成图形的面积.
admin
2016-09-13
103
问题
设g(x)=
,f(x)=∫
0
x
g(t)dt.
(1)证明:y=f(x)为奇函数,并求其曲线的水平渐近线;
(2)求曲线y=f(x)与它所有水平渐近线及Oy轴围成图形的面积.
选项
答案
显然,g(0)=1,而当x≠0时由“1
∞
”型极限得 g(x)=[*],x≠0,其中,[*]=x
2
,则不论x是否为零都有g(x)=[*],f(x)=∫
0
x
[*]dt. (1)因令t=-u有[*]=-f(x),故f(x)为奇函数.因 [*] 故y=f(x)有两条水平渐近线y=±[*] (2)由所考虑的平面图形的对称性及分部积分法得所求的面积为 [*] 其中,由洛必达法则得[*],而 [*]
解析
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考研数学三
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