2. 考研
  3. 设两个随机变量X与Y相互独立且同分布：P(X=－1)=P(y=－1)=1／2，P(X=1)=P(Y－1)=1／2，则下列各式中成立的是( )．

设两个随机变量X与Y相互独立且同分布：P(X=－1)=P(y=－1)=1／2，P(X=1)=P(Y－1)=1／2，则下列各式中成立的是( )．

admin2019-07-12  109
问题 设两个随机变量X与Y相互独立且同分布：P(X=－1)=P(y=－1)=1／2，P(X=1)=P(Y－1)=1／2，则下列各式中成立的是(    )．
选项 A、P(X=Y)=1／2
B、P(X=Y)=1
C、P(X+Y=0)=1／4
D、P(XY=1)=1／4
答案A
解析 解一  仅(A)入选．首先要注意X与Y同分布绝不是X=Y或P(X=Y)=1．下面将随机变量表示的事件{X=Y)，{X+Y}及{XY}分解为互斥事件的和事件，再求其概率．
      {X=Y}={X=1，Y=1}+{X=－1，Y=－1}    (两事件互斥)，
      {X+Y=0}={X=1，Y=－1}+{X=－1，Y=1)  (两事件互斥)，
      {XY}=1={X=1，Y=1}+{X=－1，Y=－1}    (两事件互斥)．
再由两事件的独立性及互斥性，由已给的分布得到
    P(X=Y)=P(X=1，Y=1)+P(X=－1，Y=－1)
          =P(X=1)P(Y=1)+P(X=－1)P(Y=－1)
          =2×(1／4)=1／2，
    P(X+Y=0)=P(X=1，Y=－1)+P(X=－1，Y=1)
         =P(X=1)P(Y=－1)+P(X=－1)P(Y=1)=1／2，
    P(XY=1)=P(X=1，Y=1)+P(X=－1，Y=－1)
           =P(X=1)P(Y=1)+P(X=－1)P(Y=－1)－1／2．
    解二  仅(A)入选．用同一表格法求之．由题设条件易求得
           
故P(X=Y)=P(X=－1，Y=－1)+P(X=Y=1)=1／4+1／4=1／2，
    P(X+Y=0)=P(X=－1，Y=1)+P(X=1，Y=－1)=1／4+1／4=1／2，
    P(XY=1)=P(X=－1，Y=－1)+P(X=1，Y=1)=1／4+1／4=1／2．
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考研数学三

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