(91年)设随机变量(X，Y)在圆域χ2＋y2≤r2上服从联合均匀分布． (1)求(X，Y)的相关系数ρ； (2)问X和Y是否独立?

admin2019-06-25 58

问题 (91年)设随机变量(X，Y)在圆域χ²＋y²≤r²上服从联合均匀分布．
(1)求(X，Y)的相关系数ρ；
(2)问X和Y是否独立?

选项

答案由题意，(X，Y)的联合概率密度为 f(χ，y)＝[*]，若χ²＋y²≤r²(别处为0) 则关于X的边缘密度为f_x(χ)＝∫_－∞^＋∞f(χ，y)dy 当｜χ｜＞r时，f_X(χ)＝0；当｜χ｜≤r时， [*] 完全同理类似，得关于Yy的边缘概率密度为 [*] (1)EX＝[*] 同理，EY＝0 而E(XY)＝[*] 以上积分为0可由被积函数为奇函数而积分区间对称且积分是收敛的得到．于是covc(X，Y)＝E(XY)－E(X)E(Y)＝0， [*] 故X与Y不独立．

解析

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考研数学三

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[*]
设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f"(x)＞0，证明：f(x)在(a，b)内为凹函数．
设随机变量X方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计P{|X—E(X)|≥2)≤____________．
设总体X的密度函数为求参数θ的矩估计量和最大似然估计量．
设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足A2=A(A称为幂等阵)．求：二次型XTAX的标准形；
设二次型f(x1，x2，x3)=(a一1)x12+(a一1)x22+2x32+2x1x2(a>0)的秩为用正交变换法化二次型为标准形．
判断级数的敛散性．
计算下列二重积分：设D：|x|≤1，|y|≤1，求
设f(x)连续，φ(x)=∫0xf(xt)dt，且求φ’(1)，并讨论φ’(x)在x=0处的连续性．

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