设f(x)可导,且它的任何两个零点的距离都大于某一个正数(称零点是孤立的),g(x)连续,且当f(x)≠0时g(x)可导,令φ(x)=g(x)|f(x)|,讨论φ(x)的可导性.

admin2017-05-31  30

问题 设f(x)可导,且它的任何两个零点的距离都大于某一个正数(称零点是孤立的),g(x)连续,且当f(x)≠0时g(x)可导,令φ(x)=g(x)|f(x)|,讨论φ(x)的可导性.

选项

答案设x0为分段点. 若f(x0)≠0,则由题设可知,存在δ>0,使得当|x-x0|<δ时,f(x)与f(x0)同号,于是在该邻域内必有φ(x)=f(x)g(x)或φ(x)=-f(x)g(x)之一成立,所以φ(x)在点x0处必可导. 若f(x0)=0,不妨假设 [*] 由φ(x0)=f(x0)=0,可得 [*] 所以,φ(x)在x0处可导<=>f’(x0)g(x0)=0.且当f’(x0)g(x0)=0时,φ’(x0)=0.

解析 这是分段函数的可导性问题.只需讨论在分段点Xo处是否可导.分f(x0)≠0与f(x0)=0两种情形讨论.
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