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设f(x)可导,且它的任何两个零点的距离都大于某一个正数(称零点是孤立的),g(x)连续,且当f(x)≠0时g(x)可导,令φ(x)=g(x)|f(x)|,讨论φ(x)的可导性.
设f(x)可导,且它的任何两个零点的距离都大于某一个正数(称零点是孤立的),g(x)连续,且当f(x)≠0时g(x)可导,令φ(x)=g(x)|f(x)|,讨论φ(x)的可导性.
admin
2017-05-31
50
问题
设f(x)可导,且它的任何两个零点的距离都大于某一个正数(称零点是孤立的),g(x)连续,且当f(x)≠0时g(x)可导,令φ(x)=g(x)|f(x)|,讨论φ(x)的可导性.
选项
答案
设x
0
为分段点. 若f(x
0
)≠0,则由题设可知,存在δ>0,使得当|x-x
0
|<δ时,f(x)与f(x
0
)同号,于是在该邻域内必有φ(x)=f(x)g(x)或φ(x)=-f(x)g(x)之一成立,所以φ(x)在点x
0
处必可导. 若f(x
0
)=0,不妨假设 [*] 由φ(x
0
)=f(x
0
)=0,可得 [*] 所以,φ(x)在x
0
处可导<=>f’(x
0
)g(x
0
)=0.且当f’(x
0
)g(x
0
)=0时,φ’(x
0
)=0.
解析
这是分段函数的可导性问题.只需讨论在分段点Xo处是否可导.分f(x
0
)≠0与f(x
0
)=0两种情形讨论.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Eeu4777K
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考研数学一
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