设f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0，f’(0)=1，且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0为一全微分方程，求f(x)及此全微分方程的通解．

admin2013-03-19 60

问题设f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0，f’(0)=1，且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f’(x)+x²y]dy=0为一全微分方程，求f(x)及此全微分方程的通解．

选项

答案由全微分方程的条件，有即x²+2xy-f(x)=f"(x)+2xy，亦即 f"(x)+f(x)=x²．因而f(x)是初值问题[*]的解，从而解得 f(x)=2cosx+sinx+x²-2．原方程化为 [xy²+2y-(2cosx+sinx)y]dx+(x²y+2x-2sinx+cosx)dy=0．先用凑微分法求左端微分式的原函数： (1/2y²dx^2<

解析

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考研数学一

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