2. 考研
  3. 设f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0，f’(0)=1，且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0为一全微分方程，求f(x)及此全微分方程的通解．

设f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0，f’(0)=1，且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0为一全微分方程，求f(x)及此全微分方程的通解．

admin2013-03-19  61
问题 设f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0，f’(0)=1，且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0为一全微分方程，求f(x)及此全微分方程的通解．
选项
答案由全微分方程的条件，有 即x2+2xy-f(x)=f"(x)+2xy，亦即 f"(x)+f(x)=x2． 因而f(x)是初值问题[*]的解，从而解得 f(x)=2cosx+sinx+x2-2． 原方程化为 [xy2+2y-(2cosx+sinx)y]dx+(x2y+2x-2sinx+cosx)dy=0． 先用凑微分法求左端微分式的原函数： (1/2y2dx2<
解析
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考研数学一

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