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设f(x)具有二阶连续导数,f(0)=0,f’(0)=1,且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0为一全微分方程,求f(x)及此全微分方程的通解.
设f(x)具有二阶连续导数,f(0)=0,f’(0)=1,且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0为一全微分方程,求f(x)及此全微分方程的通解.
admin
2013-03-19
84
问题
设f(x)具有二阶连续导数,f(0)=0,f’(0)=1,且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f’(x)+x
2
y]dy=0为一全微分方程,求f(x)及此全微分方程的通解.
选项
答案
由全微分方程的条件,有 即x
2
+2xy-f(x)=f"(x)+2xy,亦即 f"(x)+f(x)=x
2
. 因而f(x)是初值问题[*]的解,从而解得 f(x)=2cosx+sinx+x
2
-2. 原方程化为 [xy
2
+2y-(2cosx+sinx)y]dx+(x
2
y+2x-2sinx+cosx)dy=0. 先用凑微分法求左端微分式的原函数: (1/2y
2
dx
2<
解析
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0
考研数学一
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