首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设向量α1,α2,...,αt是齐次方程组Ax=0的一个基础解系,向量β不是方程组Ax=0的解即Aβ≠0.试证明:向量组β,β+α1,β+α2,…,β+αt线性无关.
设向量α1,α2,...,αt是齐次方程组Ax=0的一个基础解系,向量β不是方程组Ax=0的解即Aβ≠0.试证明:向量组β,β+α1,β+α2,…,β+αt线性无关.
admin
2013-04-04
88
问题
设向量α
1
,α
2
,...,α
t
是齐次方程组Ax=0的一个基础解系,向量β不是方程组Ax=0的解即Aβ≠0.试证明:向量组β,β+α
1
,β+α
2
,…,β+α
t
线性无关.
选项
答案
证法一:(定义法) 若有一组数k,k
1
,k
2
,…,k
t
,使得 kβ+k
1
(β+α
1
)+k
2
(β+α
2
)+…k
t
(β+α
t
)=0, 则因α
1
,α
2
,...,α
t
是Ax=0的解,知Aα
i
=0(i=1,2,…,t),用A左乘上式的两边,有 (k+k
1
+k
2
+…+k
t
)Aβ=0. 由于Aβ≠0,故k+k
1
+k
2
+…+k
t
=0. 重新分组为(k+k
1
+k
2
+…+k
t
)β+k
1
α
1
+k
2
α
1
+…+t
t
α
t
=0. k
1
α
1
+k
2
α
1
+…+t
t
α
t
=0. 由于α
1
,α
2
,...,α
t
是基础解系,它们线性无关,故必有 k
1
=0,k
2
=0,…,k
t
=0. k=0. 因此,向量组β,β+α
1
,...,β+α
t
线性无关. 证法二:(用秩) 经初等变换向量组的秩不变.把第1列的一1倍分别加至其余各列,有 (β,β+α
1
,β+α
2
,...,β+α
t
)→(β,α
1
,α
2
,…,α
t
). 因此 r(β,β+α
1
,β+α
2
,...,β+α
t
)=r(β,α
1
,α
2
,…,α
t
). 由于α
1
,α
2
,…,α
t
是基础解系,它们是线性无关的,秩r(α
1
,α
2
,…,α
t
)=t,又β必不能由α
1
,α
2
,…,α
t
线性表出(否则Aβ=0),故 r(β,α
1
,α
2
,…,α
t
,β)=t+1. 所以 r(β,β+α
1
,β+α
2
,...,β+α
t
)=t+1. 即向量组β,β+α
1
,β+α
2
,...,β+α
t
线性无关.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/9X54777K
0
考研数学一
相关试题推荐
已知y=f(x)对一切的x满足xf"(x)+3x[f’(x)]2=1一e一x,若f’(x0)=0(x0≠0),则
(16年)设函数f(x)在(一∞,+∞)内连续,其导函数的图形如图所示,则
A、 B、 C、 D、 B
设A=(α1,α2,α3,α4)是四阶矩阵,A*为A的伴随矩阵。若(1,0,1,0)T是方程组Ax=0的一个基础解系,则A*x=0的基础解系可以是()
(2009年)设A,B均为2阶矩阵,A*,B*分别为A,B的伴随矩阵.若|A|=2,|B|=3,则分块矩阵的伴随矩阵为【】
设线性方程组已知[1,一1,1,一1]T是方程组的一个解,试求:(I)方程组的全部解,并用对应的齐次方程组的基础解系表示全部解;(Ⅱ)该方程组x2=x3的全部解.
(2000年试题,十三)已知向量组β1=与向量组具有相同的秩,且β3可由α1,α2,α3线性表示,求a,b的值.
试证明:当x>0时,(x2-1)lnx≥(x-1)2.
已知u=g(siny),其中g’(v)存在,y=f(x)由参数方程所确定,求du.
已知B是n阶矩阵,满足B2=E(此时矩阵B称为对合矩阵).求B的特征值的取值范围.
随机试题
Thefirstsnowboardsweremadeinthe1960s.However,itwasinthelate1970sthattheybecamemore【C1】______Throughoutthe198
检查某班15岁学生50名,其中患龋病者10人,龋失补牙数为:D=50,M=5,F=10,这班学生的患龋率为
建设单位在领取了施工许可证以后,有理由不能按期开工时,经过办理有关延期手续,许可证的有效期限最长不超过( )个月。
介绍经纪商可以从事的业务有( )。
下列各项中可作为货币政策操作目标的有()。
泰勒原理所包含的四大问题是指()
在中国共产党的历史上,最早使用“统一战线”概念的是
Themajortaskfacingadolescentsistocreateastableidentity.Therearesomedevelopmentaltasksthatenablethemtocreate
有如下程序:#includeusingnamespacestd;classMusic{public:voidsetTitle(char*str){strcpy(title,str);}protected:charty
请选出正确答案。例如:她很活泼,说话很有趣,总能给我们带来快乐,我们都很喜欢和她在一起。★她是个什么样的人?A幽默√B马虎C骄傲D害羞现在,很多家长都让孩子假期去参加辅导班,他们认为学习才是孩子应该做的,这
最新回复
(
0
)