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设向量α1,α2,...,αt是齐次方程组Ax=0的一个基础解系,向量β不是方程组Ax=0的解即Aβ≠0.试证明:向量组β,β+α1,β+α2,…,β+αt线性无关.
设向量α1,α2,...,αt是齐次方程组Ax=0的一个基础解系,向量β不是方程组Ax=0的解即Aβ≠0.试证明:向量组β,β+α1,β+α2,…,β+αt线性无关.
admin
2013-04-04
30
问题
设向量α
1
,α
2
,...,α
t
是齐次方程组Ax=0的一个基础解系,向量β不是方程组Ax=0的解即Aβ≠0.试证明:向量组β,β+α
1
,β+α
2
,…,β+α
t
线性无关.
选项
答案
证法一:(定义法) 若有一组数k,k
1
,k
2
,…,k
t
,使得 kβ+k
1
(β+α
1
)+k
2
(β+α
2
)+…k
t
(β+α
t
)=0, 则因α
1
,α
2
,...,α
t
是Ax=0的解,知Aα
i
=0(i=1,2,…,t),用A左乘上式的两边,有 (k+k
1
+k
2
+…+k
t
)Aβ=0. 由于Aβ≠0,故k+k
1
+k
2
+…+k
t
=0. 重新分组为(k+k
1
+k
2
+…+k
t
)β+k
1
α
1
+k
2
α
1
+…+t
t
α
t
=0. k
1
α
1
+k
2
α
1
+…+t
t
α
t
=0. 由于α
1
,α
2
,...,α
t
是基础解系,它们线性无关,故必有 k
1
=0,k
2
=0,…,k
t
=0. k=0. 因此,向量组β,β+α
1
,...,β+α
t
线性无关. 证法二:(用秩) 经初等变换向量组的秩不变.把第1列的一1倍分别加至其余各列,有 (β,β+α
1
,β+α
2
,...,β+α
t
)→(β,α
1
,α
2
,…,α
t
). 因此 r(β,β+α
1
,β+α
2
,...,β+α
t
)=r(β,α
1
,α
2
,…,α
t
). 由于α
1
,α
2
,…,α
t
是基础解系,它们是线性无关的,秩r(α
1
,α
2
,…,α
t
)=t,又β必不能由α
1
,α
2
,…,α
t
线性表出(否则Aβ=0),故 r(β,α
1
,α
2
,…,α
t
,β)=t+1. 所以 r(β,β+α
1
,β+α
2
,...,β+α
t
)=t+1. 即向量组β,β+α
1
,β+α
2
,...,β+α
t
线性无关.
解析
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考研数学一
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