2. 考研
  3. 设f在[0,+∞)上连续，满足0≤f(x)≤x，x∈[0．+∞)．设a1≥0，an+1=f(an)，n=1．2．… 证明：(1){an}为收敛数列； (2)设an=t，则有f(t)=f； (3)若条件改为0≤f(x)＜x,x∈[0，

设f在[0,+∞)上连续，满足0≤f(x)≤x，x∈[0．+∞)．设a1≥0，an+1=f(an)，n=1．2．… 证明：(1){an}为收敛数列； (2)设an=t，则有f(t)=f； (3)若条件改为0≤f(x)＜x,x∈[0，

admin2022-10-31  2
问题 设f在[0,+∞)上连续，满足0≤f(x)≤x，x∈[0．+∞)．设a1≥0，an+1=f(an)，n=1．2．…
    证明：(1){an}为收敛数列；
    (2)设an=t，则有f(t)=f；
    (3)若条件改为0≤f(x)＜x,x∈[0，+∞)，则t=0．
选项
答案(1)由an+1=f(an)≤an知，数列{an}为递减数列，由a1≥0，an+1=f(an)≥0知，数列{an}有界．根据单调有界定理，{an}为收敛数列． (2)设[*]an=t，由于f在[0，+∞)连续,对an+1=f(an)两边取极限，得[*]，因此f’(t)=t． (3)此时(1)．(2)结论仍成立．因为当x∈(0．+∞)时，f(x)＜x．所以由f(t)=t可推出t=0．
解析
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考研数学二

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