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设二维随机变量(X,Y)在区域D上均匀分布,其中D={(χ,y)||χ|+|y|≤1}。又设U=X+Y,V=X-Y,试求: (Ⅰ)U和V,的概率密度fU(u)与fv(v); (Ⅱ)U和V的协方差Cov(U,V)和相关系数ρUV。
设二维随机变量(X,Y)在区域D上均匀分布,其中D={(χ,y)||χ|+|y|≤1}。又设U=X+Y,V=X-Y,试求: (Ⅰ)U和V,的概率密度fU(u)与fv(v); (Ⅱ)U和V的协方差Cov(U,V)和相关系数ρUV。
admin
2017-11-30
44
问题
设二维随机变量(X,Y)在区域D上均匀分布,其中D={(χ,y)||χ|+|y|≤1}。又设U=X+Y,V=X-Y,试求:
(Ⅰ)U和V,的概率密度f
U
(u)与f
v
(v);
(Ⅱ)U和V的协方差Cov(U,V)和相关系数ρ
UV
。
选项
答案
区域D实际上是以(-1,0),(1,0),(0,1),(0,-1)为顶点的正方形区域,D的面积为2,(X,Y)的联合概率密度为f(χ,y)=[*] 已知f(χ,y)就可以求f
U
(u)与f
V
(v),可利用f(χ,y)的对称性。 (Ⅰ)U=X+Y,F
U
(u)=P{U≤u}=P{X+Y≤u}=[*]f(χ,y)dχdy。 当u<-1时,F
U
(u)=0; 当-1≤u≤1时,F
U
(u)=[*] 当u>1时,F
U
(u)=1。 [*] 即U~U[-1,1]。 V=X-Y,F
V
(v)=P{V≤v}=P{X-Y≤v}=[*]f(χ,y)dχdy。 当v<-1时,F
V
(v)=0; 当-1≤v≤1时,F
V
(v)=[*] 当v>1时,F
V
(v)=1。 [*] 即V~U[-1,1]。 (Ⅱ)Coy(U,V)=E(UV)-E(U)E(V),显然E(U)=E(V)=0,而 E(UV)=E[(X+Y)(X-Y)]=E(X
2
-Y
2
)=E(X
2
)-E(Y
2
), 由X,Y的对称性得E(X
2
)=E(Y
2
),所以 Cov(U,V)=0,ρ
UV
=[*]=0。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Efr4777K
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考研数学一
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