设二维随机变量(X,Y)在区域D上均匀分布,其中D={(χ,y)||χ|+|y|≤1}。又设U=X+Y,V=X-Y,试求: (Ⅰ)U和V,的概率密度fU(u)与fv(v); (Ⅱ)U和V的协方差Cov(U,V)和相关系数ρUV。

admin2017-11-30  31

问题 设二维随机变量(X,Y)在区域D上均匀分布,其中D={(χ,y)||χ|+|y|≤1}。又设U=X+Y,V=X-Y,试求:
    (Ⅰ)U和V,的概率密度fU(u)与fv(v);
    (Ⅱ)U和V的协方差Cov(U,V)和相关系数ρUV

选项

答案区域D实际上是以(-1,0),(1,0),(0,1),(0,-1)为顶点的正方形区域,D的面积为2,(X,Y)的联合概率密度为f(χ,y)=[*] 已知f(χ,y)就可以求fU(u)与fV(v),可利用f(χ,y)的对称性。 (Ⅰ)U=X+Y,FU(u)=P{U≤u}=P{X+Y≤u}=[*]f(χ,y)dχdy。 当u<-1时,FU(u)=0; 当-1≤u≤1时,FU(u)=[*] 当u>1时,FU(u)=1。 [*] 即U~U[-1,1]。 V=X-Y,FV(v)=P{V≤v}=P{X-Y≤v}=[*]f(χ,y)dχdy。 当v<-1时,FV(v)=0; 当-1≤v≤1时,FV(v)=[*] 当v>1时,FV(v)=1。 [*] 即V~U[-1,1]。 (Ⅱ)Coy(U,V)=E(UV)-E(U)E(V),显然E(U)=E(V)=0,而 E(UV)=E[(X+Y)(X-Y)]=E(X2-Y2)=E(X2)-E(Y2), 由X,Y的对称性得E(X2)=E(Y2),所以 Cov(U,V)=0,ρUV=[*]=0。

解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Efr4777K
0

随机试题
最新回复(0)