证明:实对称矩阵A可逆的充分必要条件为存在实矩阵B,使得AB+BTA正定.

admin2015-07-22  33

问题 证明:实对称矩阵A可逆的充分必要条件为存在实矩阵B,使得AB+BTA正定.

选项

答案必要性 取B=A-1,则AB+BTA=E+(A-1)TA=2E,所以AB+BTA是正定矩阵. 充分性 用反证法.若A不是可逆矩阵,则r(A)<n,于是存在实向量x0≠0使得Ax0=0.因为A是实对称矩阵,B是实矩阵,于是有 x0T(AB+BTA)x0=(Ax0)TBx0+x0TBT(Ax0)=0,这与AB+BTA是正定矩阵矛盾.

解析
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