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设曲线L过点(1,1),L上任意一点p(x,y)处的切线交x轴于点T,O为坐标原点,若|PT|=|OT|。试求曲线L的方程。
设曲线L过点(1,1),L上任意一点p(x,y)处的切线交x轴于点T,O为坐标原点,若|PT|=|OT|。试求曲线L的方程。
admin
2017-11-30
40
问题
设曲线L过点(1,1),L上任意一点p(x,y)处的切线交x轴于点T,O为坐标原点,若|PT|=|OT|。试求曲线L的方程。
选项
答案
设曲线方程为y=y(x),则y(1)=1,过点P(x,y)处的切线方程为 Y—y=y
’
(X一x), 则切线与x轴的交点为T(x一[*],0)。根据|PT|=|OT|,有 [*], 上式两边同时平方,整理可得y
’
(x
2
一y
2
)=2xy,该一阶微分方程为齐次方程,令μ=[*], 两边取积分得[*], 解得[*],故曲线L的方程为 x
2
+y
2
一2y=0。
解析
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考研数学二
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