,αTβ=aibi≠0,求A的全部特征值,并证明A可以对角化.

admin2017-09-15  35

问题 ,αTβ=aibi≠0,求A的全部特征值,并证明A可以对角化.

选项

答案令αTβ=k,则A2=kA, 设AX=λX,则A2X=λ2X=kX,即λ(λ-k)X=0, 因为X≠0,所以矩阵A的特征值为λ=或λ=k. 由λ1+…+λn=tr(A)且tr(A)=k得λ1=…=λn-1=0,λn=k. 因为r(A)=1,所以方程组(0E-A)X=0的基础解系含有n-1个线性无关的解向量, 即λ=0有n-1个线性无关的特征向量,故A可以对角化.

解析
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