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,αTβ=aibi≠0,求A的全部特征值,并证明A可以对角化.
,αTβ=aibi≠0,求A的全部特征值,并证明A可以对角化.
admin
2017-09-15
83
问题
,α
T
β=
a
i
b
i
≠0,求A的全部特征值,并证明A可以对角化.
选项
答案
令α
T
β=k,则A
2
=kA, 设AX=λX,则A
2
X=λ
2
X=kX,即λ(λ-k)X=0, 因为X≠0,所以矩阵A的特征值为λ=或λ=k. 由λ
1
+…+λ
n
=tr(A)且tr(A)=k得λ
1
=…=λ
n-1
=0,λ
n
=k. 因为r(A)=1,所以方程组(0E-A)X=0的基础解系含有n-1个线性无关的解向量, 即λ=0有n-1个线性无关的特征向量,故A可以对角化.
解析
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考研数学二
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