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设f(χ)连续,且F(χ)=∫0χ(χ-2t)f(t)dt.证明: (1)若f(χ)是偶函数,则F(χ)为偶函数; (2)若f(χ)单调不增,则F(χ)单调不减.
设f(χ)连续,且F(χ)=∫0χ(χ-2t)f(t)dt.证明: (1)若f(χ)是偶函数,则F(χ)为偶函数; (2)若f(χ)单调不增,则F(χ)单调不减.
admin
2018-05-17
51
问题
设f(χ)连续,且F(χ)=∫
0
χ
(χ-2t)f(t)dt.证明:
(1)若f(χ)是偶函数,则F(χ)为偶函数;
(2)若f(χ)单调不增,则F(χ)单调不减.
选项
答案
(1)设f(-χ)=f(χ), 因为F(-χ)=∫
0
-χ
(-χ-2t)f(t)dt[*](-χ+2u)f(-u)(-du) =∫
0
χ
(χ-2u)f(u)du=F(χ), 所以F(χ)为偶函数. (2)F(χ)=∫
0
χ
(χ-2t)f(t)dt=χ∫
0
χ
f(t)dt-2∫
0
χ
tf(t)dt, F′(χ)=∫
0
χ
f(t)dt-χf(χ)=χ[f(ξ)-f(χ)],其中ξ介于0与χ之间, 当χ<0时,χ≤ξ≤0,因为f(χ)单调不增,所以F′(χ)≥0, 当χ≥0时,0≤ξ≤χ,因为f(χ)单调不增,所以F′(χ)≥0, 从而F(χ)单调不减.
解析
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0
考研数学二
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