设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量组，满足 Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3．求作矩阵B，使得A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)B．

admin2017-06-08 102

问题设A为3阶矩阵，α₁，α₂，α₃是线性无关的3维列向量组，满足
Aα₁=α₁+α₂+α₃，Aα₂=2α₂+α₃，Aα₃=2α₂+3α₃．
求作矩阵B，使得A(α₁，α₂，α₃)=(α₁，α₂，α₃)B．

选项

答案由于α₁，α₂，α₃，线性无关，矩阵P=(α₁，α₂，α₃)可逆，并且 E=P^－1(α₁，α₂，α₃)=(P^－1α₁，P^－1α₂，P^－1α₃)，则P^－1α₁=(1，0，0)^T，P^－1α₂=(0，1，0)^T，P^－1α₃=(0，0，1)^T，于是 B=P^－1AP=P^－1A(α₁，α₂，α₃)=P^－1(α₁+α₂+α₃，2α₂+α₃，2α₂+3α₃) [*]

解析

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考研数学二

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设三阶实对称矩阵A的特征值是1，2，3；矩阵A的属于特征值1，2的特征向量分别是α1=(-1，-1，1)T，α2=(1，-2，-1)T．求A的属于特征值3的特征向量．
设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且求矩阵A．
设α1，α2，…，αn(n≥2)线性无关，证明：当且仅当n为奇数时α1+α2，α2+α3，…，αn+α1线性无关．

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