(1)证明两个上三角矩阵A和B的乘积AB还是上三角矩阵；并且AB对角线元素就是A和B对应对角线元素的乘积． (2)证明上三角矩阵A的方幂Ak与多项式f(A)也都是上三角矩阵；并且Ak的对角线元素为a11k， a22k，…，annk；f(A)的对角线

admin2020-03-05 64

问题 (1)证明两个上三角矩阵A和B的乘积AB还是上三角矩阵；并且AB对角线元素就是A和B对应对角线元素的乘积．
(2)证明上三角矩阵A的方幂A^k与多项式f(A)也都是上三角矩阵；并且A^k的对角线元素为a₁₁^k，
a₂₂^k，…，a_nn^k；f(A)的对角线元素为f(a₁₁)，f(a₂₂)，…，f(a_nn)．
(a₁₁，a₂₂，…，a_nn是A的对角线元素．)

选项

答案(1)设A和B都是n阶上三角矩阵，C=AB，要说明C的对角线下的元素都为0，即i＞j时，c_ij=0．c_ij=A的第i个行向量和B的第j个列向量对应分量乘积之和．由于A和B都是n阶上三角矩阵，A的第i个行向量的前面i一1个分量都是0，B的第j个列向量的后面n一j个分量都是0，而i一1+n—j=n+(i—j一1)≥n，因此c_ij=0． c_ii=a_i1b_1i+…+a_ii-1b_i-1i+a_iib_ii+a_ii+1b_i+1i+…+a_inb_ni =a_iib_ii(a_i1…=a_ii-1=0，b_i+1i…=b_ni=0)． (2)设A是上三角矩阵．由(1)，直接可得A^k是上三角矩阵，并且对角线元素为a₁₁^k，a₂₂^k，…，a_nn^k．设f(A)=a_mA^m+a_m-1A^m-1+…+a₁A+a₀E．a_iAⁱ都是上三角矩阵，作为它们的和，f(A)也是上三角矩阵．f(A)的对角线元素作为它们的对角线元素的和，是f(a₁₁)，f(a₂₂)，…，f(a_nn)．

解析

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(1)证明两个上三角矩阵A和B的乘积AB还是上三角矩阵；并且AB对角线元素就是A和B对应对角线元素的乘积． (2)证明上三角矩阵A的方幂Ak与多项式f(A)也都是上三角矩阵；并且Ak的对角线元素为a11k， a22k，…，annk；f(A)的对角线

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设X，Y为两个随机变量，P(X≤1，Y≤1)=，P(X≤1)=P(Y≤1)=，则P(min(X，Y)≤1)=()．

曲面z一ez+2xy=3在点(1，2，0)处的切平面方程为_________．

=_________．

与α1=[1，2，3，-]T，α2=[0，1，1，2]T，α3=[2，1，3，0]T都正交的单位向量是________

下列反常积分收敛的是()

设随机变量X的密度函数f(x)=且P{1＜X＜2}=P{2＜X＜3}，则常数A=___；B=_；概率P{2＜X＜4}=_；分布函数F(x)=_____。

设z=f(x，y)=x2arctan=___________．

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=1，证明必存在ξ，η∈(a，b)，使得eη-ξ[f(η)+f’(η)]=1。

若随机变量X1，X2，…，Xn相互独立同分布于N(μ，22)，则根据切比雪夫不等式得P｛｜一μ｜≥2｝≤__________．

设函数f(x)=其中g(x)二阶连续可导，且g(0)=1．讨论f′(x)在x=0处的连续性．

丝堵的作用是（）。

(2009年)矩形截面挖去一个边长为a的正方形，如图5—28所示，该截面对z轴的惯性矩Iz为()。

如果道路曲线不设超高而只有加宽时，则采用不小于()m的缓和段长度。

项目管理信息系统的投资控制功能有(　　)。

陕西省以秦岭为界南北河流分属长江水系和黄河水系。下列河流中不在陕西省境内的是()。

对某二叉树进行前序遍历的结果为ABDEFC，中序遍历的结果为DBFEAC，则后序遍历结果为

A.examinationoftheheart,lungsandotherorgansB.physicalormentalC.preventionofdiseaseD.carefuldiagnosisands

InAmericaandCanada,peoplealsohaveanautumnfestival.ItislikeourMid-autumnDay.ItisThanksgivingDay.Itisonthe

WeddingCustomsAroundtheWorldWeddingCeremoniesAweddingiscelebratedwithsomekindofceremonyalmosteverywhere

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=_________．

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设随机变量X的密度函数f(x)=且P{1＜X＜2}=P{2＜X＜3}，则常数A=_______；B=_________；概率P{2＜X＜4}=_______；分布函数F(x)=_______。

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