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(1)证明两个上三角矩阵A和B的乘积AB还是上三角矩阵;并且AB对角线元素就是A和B对应对角线元素的乘积. (2)证明上三角矩阵A的方幂Ak与多项式f(A)也都是上三角矩阵;并且Ak的对角线元素为a11k, a22k,…,annk;f(A)的对角线
(1)证明两个上三角矩阵A和B的乘积AB还是上三角矩阵;并且AB对角线元素就是A和B对应对角线元素的乘积. (2)证明上三角矩阵A的方幂Ak与多项式f(A)也都是上三角矩阵;并且Ak的对角线元素为a11k, a22k,…,annk;f(A)的对角线
admin
2020-03-05
38
问题
(1)证明两个上三角矩阵A和B的乘积AB还是上三角矩阵;并且AB对角线元素就是A和B对应对角线元素的乘积.
(2)证明上三角矩阵A的方幂A
k
与多项式f(A)也都是上三角矩阵;并且A
k
的对角线元素为a
11
k
,
a
22
k
,…,a
nn
k
;f(A)的对角线元素为f(a
11
),f(a
22
),…,f(a
nn
).
(a
11
,a
22
,…,a
nn
是A的对角线元素.)
选项
答案
(1)设A和B都是n阶上三角矩阵,C=AB,要说明C的对角线下的元素都为0,即i>j时,c
ij
=0.c
ij
=A的第i个行向量和B的第j个列向量对应分量乘积之和.由于A和B都是n阶上三角矩阵,A的第i个行向量的前面i一1个分量都是0,B的第j个列向量的后面n一j个分量都是0,而i一1+n—j=n+(i—j一1)≥n,因此c
ij
=0. c
ii
=a
i1
b
1i
+…+a
ii-1
b
i-1i
+a
ii
b
ii
+a
ii+1
b
i+1i
+…+a
in
b
ni
=a
ii
b
ii
(a
i1
…=a
ii-1
=0,b
i+1i
…=b
ni
=0). (2)设A是上三角矩阵.由(1),直接可得A
k
是上三角矩阵,并且对角线元素为a
11
k
,a
22
k
,…,a
nn
k
. 设f(A)=a
m
A
m
+a
m-1
A
m-1
+…+a
1
A+a
0
E.a
i
A
i
都是上三角矩阵,作为它们的和,f(A)也是上三角矩阵.f(A)的对角线元素作为它们的对角线元素的和,是f(a
11
),f(a
22
),…,f(a
nn
).
解析
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考研数学一
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