2. 考研
  3. (1)证明两个上三角矩阵A和B的乘积AB还是上三角矩阵；并且AB对角线元素就是A和B对应对角线元素的乘积． (2)证明上三角矩阵A的方幂Ak与多项式f(A)也都是上三角矩阵；并且Ak的对角线元素为a11k， a22k，…，annk；f(A)的对角线

(1)证明两个上三角矩阵A和B的乘积AB还是上三角矩阵；并且AB对角线元素就是A和B对应对角线元素的乘积． (2)证明上三角矩阵A的方幂Ak与多项式f(A)也都是上三角矩阵；并且Ak的对角线元素为a11k， a22k，…，annk；f(A)的对角线

admin2020-03-05  54
问题 (1)证明两个上三角矩阵A和B的乘积AB还是上三角矩阵；并且AB对角线元素就是A和B对应对角线元素的乘积．
    (2)证明上三角矩阵A的方幂Ak与多项式f(A)也都是上三角矩阵；并且Ak的对角线元素为a11k，
a22k，…，annk；f(A)的对角线元素为f(a11)，f(a22)，…，f(ann)．
    (a11，a22，…，ann是A的对角线元素．)
选项
答案(1)设A和B都是n阶上三角矩阵，C=AB，要说明C的对角线下的元素都为0，即i＞j时，cij=0．cij=A的第i个行向量和B的第j个列向量对应分量乘积之和．由于A和B都是n阶上三角矩阵，A的第i个行向量的前面i一1个分量都是0，B的第j个列向量的后面n一j个分量都是0，而i一1+n—j=n+(i—j一1)≥n，因此cij=0． cii=ai1b1i+…+aii-1bi-1i+aiibii+aii+1bi+1i+…+ainbni =aiibii(ai1…=aii-1=0，bi+1i…=bni=0)． (2)设A是上三角矩阵．由(1)，直接可得Ak是上三角矩阵，并且对角线元素为a11k，a22k，…，annk． 设f(A)=amAm+am-1Am-1+…+a1A+a0E．aiAi都是上三角矩阵，作为它们的和，f(A)也是上三角矩阵．f(A)的对角线元素作为它们的对角线元素的和，是f(a11)，f(a22)，…，f(ann)．
解析
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考研数学一

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